Para cada um dos sistemas abaixo, calcular a solução usando o método LU e o método de eliminação de Gauss e calcule o erro comparando com a solução exata.
2 x-3 y+z=-3
x+4 y+2 z=25

Passo 1

Beleza, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
2x - 3y + z = -3, x + 4y + 2z = 25
O assunto é “resolução de sistemas lineares” usando o método LU e a eliminação de Gauss. Para isso normalmente a gente monta a matriz dos coeficientes , o vetor de termos independentes e aplica os dois procedimentos.

Passo 2

Monta-se:
A = 2 & -3 & 1[6pt]1 & 4 & 2, b = -3[3pt]25
Mas repara que é , não é quadrada. E o método LU padrão exige matriz quadrada e não singular. Logo não dá pra fazer uma decomposição completa aqui.

Passo 3

Como LU não vale para matrizes não quadradas, a gente parte direto para a eliminação de Gauss, que funciona mesmo para sistemas onde há mais incógnitas do que equações (mas aí aparece variável livre).

Passo 4

Começamos eliminando variáveis:
  1. Escreve o sistema ampliado:
  2. Zera o “1” embaixo do “2” usando a operação 2 & -3 & 1 & vline & -3 1 & 4 & 2 & vline & 25 :

[

.
]
  1. Agora volta a escrever como sistema:
2 & -3 & 1 & vline & -3 0 & 4 + tfrac32 & 2 - tfrac12 & vline & 25 + tfrac32 = 2 & -3 & 1 & vline & -3 0 & tfrac112 & tfrac32 & vline & tfrac532
  1. Isola 2x - 3y + z = -3, 112y + 32z = 532 da segunda equação:
11y + 3z = 53 ;;Longrightarrow;; y = 53 - 3z11
  1. Chama y = 53 - 3t11 de parâmetro livre, digamos 2x - 3l(53 - 3t11r) + t = -3 Longrightarrow 2x = -3 + 3(53 - 3t)11 - t . Então
2x = -3 + 159 - 9t11 - t = -33 + 159 - 9t - 11t11 = 126 - 20t11,
  1. Volta na primeira equação para achar x = 126 - 20t22 = 63 - 10t11 :
Fazendo as contas dá
logo

Passo 5

Como apareceu o parâmetro , não há uma solução única, mas sim infinitas soluções. Logo:
– O método LU não se aplica aqui (matriz não quadrada).
– Pela eliminação de Gauss a gente vê que tem uma família de soluções.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções, dadas por
(x,y,z) = l(tfrac63 - 10t11,;tfrac53 - 3t11,;tr), tinR
Como não há solução única, não faz sentido falar em “erro” comparado a uma solução exata.

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