Para cada um dos sistemas abaixo, calcular a solução usando o método LU e o método de eliminação de Gauss e calcule o erro comparando com a solução exata.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
O assunto é “resolução de sistemas lineares” usando o método LU e a eliminação de Gauss. Para isso normalmente a gente monta a matriz dos coeficientes
, o vetor de termos independentes
e aplica os dois procedimentos.
Passo 2
Monta-se:
Mas repara que
é
, não é quadrada. E o método LU padrão exige matriz quadrada e não singular. Logo não dá pra fazer uma decomposição
completa aqui.
Passo 3
Como LU não vale para matrizes não quadradas, a gente parte direto para a eliminação de Gauss, que funciona mesmo para sistemas onde há mais incógnitas do que equações (mas aí aparece variável livre).
Passo 4
Começamos eliminando variáveis:
- Escreve o sistema ampliado:
- Zera o “1” embaixo do “2” usando a operação
:
[
.
]
]
- Agora volta a escrever como sistema:
- Isola
da segunda equação:
- Chama
de parâmetro livre, digamos . Então
- Volta na primeira equação para achar
:
Fazendo as contas dá
logo
Passo 5
Como apareceu o parâmetro
, não há uma solução única, mas sim infinitas soluções. Logo:
– O método LU não se aplica aqui (matriz não quadrada).
– Pela eliminação de Gauss a gente vê que tem uma família de soluções.
– O método LU não se aplica aqui (matriz não quadrada).
– Pela eliminação de Gauss a gente vê que tem uma família de soluções.
Resposta
O sistema tem infinitas soluções, dadas por
Como não há solução única, não faz sentido falar em “erro” comparado a uma solução exata.