Para cada um dos sistemas abaixo, calcular a solução usando o método LU e o método de eliminação de Gauss e calcule o erro comparando com a solução exata.
x+y+3 w=4
x-2 y+z=-1
2 x+y-z+w=1 3 x-y-z+2 w=-3 -x+2 y+3 z-w=4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver dois sistemas lineares com mais incógnitas do que equações (2×4 e 3×4), usando o método de eliminação de Gauss e, quando possível, fatoração LU, e depois calcular o erro em relação à “solução exata”.
Conteúdo: sistemas lineares, escalonamento (eliminação de Gauss) e fatoração LU.
O que precisamos:
  • Aprender a montar a matriz aumentada e fazer operações de linha para escalonar.
  • Saber identificar pivôs e expressar variáveis livres.
  • Lembrar que LU só vale pra matrizes quadradas.

Passo 2

Resolução via eliminação de Gauss do sistema 1:
x + y + 0,z + 3w = 4, x - 2y + z + 0,w = -1
Matriz aumentada inicial:
l[,1;;1;;0;;3mid4;;;1;-2;1;0mid-1,r]
Fazemos l[,1;1;0;3mid4;;;0;-3;1;-3mid-5,r] :
x = 4 - s -3t, y = s, z = -5 +3s +3t, w = t
Da 2ª linha:
Da 1ª linha:
Chamando e ,

Passo 3

Eliminação de Gauss do sistema 2:
2x + y - z + w = 1, 3x - y - z +2w = -3, -,x +2y +3z - w = 4
Matriz aumentada:
2 & 1 & -1 & 1 &mid&1 3 & -1 & -1 & 2 &mid&-3 -1 & 2 & 3 & -1 &mid&4
  1. 2 & 1 & -1 & 1 &mid&1 0 & -2.5 & 0.5 & 0.5 &mid&-4.5 0 & 2.5 & 2.5 & -0.5 &mid&4.5 , 2 & 1 & -1 & 1 &mid&1 0 & -2.5 & 0.5 & 0.5 &mid&-4.5 0 & 0 & 3 & 0 &mid&0 :
z=0, y=1.8+0.2t, x=-0.4-0.6t, w=t
  1. :
Da 3ª linha:
Da 2ª linha:
Da 1ª linha:
Chamando :

Passo 4

Fatoração LU: como nossas matrizes de coeficientes são 2×4 e 3×4 (não quadradas), o método LU clássico não se aplica diretamente.

Passo 5

Erro em relação à solução exata: zero em ambos, porque fizemos a eliminação de Gauss de forma exata (não houve aproximação numérica).

Resposta

Sistema 1 (2×4):
(x,y,z,w)=l(4-s-3t,;s,;-5+3s+3t,;tr), s,tin R
Sistema 2 (3×4):
(x,y,z,w)=l(-0.4-0.6t,;1.8+0.2t,;0,;tr), tin R
LU não aplicável e erro = 0.

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