Determine se os seguintes sistemas lineares são mal condicionados. E veja se o mal ou bem condicionamento da matriz depende do valor do determinante dela.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre condicionamento de sistemas lineares 2×2, ou seja, entender se uma pequena mudança nos dados dá uma mudança gigante na solução. Vamos precisar de:
O determinante da matriz
A norma infinito da matriz e da sua inversa
A definição de número de condição:
Com isso a gente decide se o sistema é mal condicionado (κ muito grande) ou bem condicionado (κ “pequeno”).
Passo 2
Sistema 1:
Determinante:
Norma infinito da matriz:
Inversa via fórmula 2×2 e norma:
Logo
Número de condição:
Isso é bem grande, portanto o Sistema 1 é mal condicionado.
Passo 3
Sistema 2:
Determinante:
(O sinal negativo só indica orientação, o módulo é 0,0001.)
2) Norma infinito:
Inversa e norma:
Número de condição:
Também muito grande → Sistema 2 é mal condicionado.
Passo 4
Repare que em ambos os casos o determinante é , ou seja, quase zero. Na prática,
Como está lá embaixo, quase zero, fica imenso. Logo, na prática, um determinante muito pequeno implica matriz mal condicionada.
Resposta
– Ambos os sistemas são mal condicionados (κ em torno de 4×10^4).
– Sim: quanto mais próximo de zero for o determinante, maior o número de condição e mais instável (mal condicionado) a matriz fica.