Determine se os seguintes sistemas lineares são mal condicionados. E veja se o mal ou bem condicionamento da matriz depende do valor do determinante dela.
& x+1,01 y=1,99 & 0,99 x+y=1,97
e
x+0,99 y=1,99
0,99 x+0,98 y=1,97

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre condicionamento de sistemas lineares 2×2, ou seja, entender se uma pequena mudança nos dados dá uma mudança gigante na solução. Vamos precisar de:
  1. O determinante da matriz
  2. A norma infinito da matriz e da sua inversa
  3. A definição de número de condição:
kappainfty(A) ;=;|A|infty,|A^-1|infty
Com isso a gente decide se o sistema é mal condicionado (κ muito grande) ou bem condicionado (κ “pequeno”).

Passo 2

Sistema 1:
A1=1 & 1,01 [3pt] 0,99 & 1 e b1=1,99 [3pt]1,97
  1. Determinante:
det(A1)=1cdot1 - 1,01cdot0,99 = 1 - 0,9999 = 0,0001
  1. Norma infinito da matriz:
|A1|infty = max,|1|+|1,01|,;|0,99|+|1| = max2,01,;1,99 = 2,01
  1. Inversa via fórmula 2×2 e norma:
A1^-1 = 1det(A1) 1 & -1,01 [3pt]-0,99 & 1 =10,0001 & -1,01 [3pt]-0,99 & 1
Logo
|A1^-1|infty =10,000;max,|1|+|1,01|,;|0,99|+|1| =10,000times2,01=20,100
  1. Número de condição:
kappainfty(A1)=2,01times20,100approx40,401
Isso é bem grande, portanto o Sistema 1 é mal condicionado.

Passo 3

Sistema 2:
A2=1 & 0,99 [3pt]0,99 & 0,98, b2=1,99 [3pt]1,97
  1. Determinante:
det(A2)=1cdot0,98 - 0,99cdot0,99 = 0,98 - 0,9801 = -0,0001
(O sinal negativo só indica orientação, o módulo é 0,0001.)
2) Norma infinito:
|A2|infty = max1+0,99,;0,99+0,98 = max1,99,;1,97 =1,99
  1. Inversa e norma:
A2^-1=1det(A2) 0,98 & -0,99 [3pt]-0,99 & 1 =-10,0000,98 & -0,99 [3pt]-0,99 & 1
|A2^-1|infty =10,000;max0,98+0,99,;0,99+1 =10,000times1,99=19,900
  1. Número de condição:
kappainfty(A2)=1,99times19,900approx39,601
Também muito grande → Sistema 2 é mal condicionado.

Passo 4

Repare que em ambos os casos o determinante é kappainfty(A)=|A|infty,l|A^-1r|infty =|A|infty,|adj(A)|infty|det(A)| , ou seja, quase zero. Na prática,
Como está lá embaixo, quase zero, fica imenso. Logo, na prática, um determinante muito pequeno implica matriz mal condicionada.

Resposta

– Ambos os sistemas são mal condicionados (κ em torno de 4×10^4).
– Sim: quanto mais próximo de zero for o determinante, maior o número de condição e mais instável (mal condicionado) a matriz fica.

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