Para cada um dos sistemas abaixo, calcular a solução usando o método LU e o método de eliminação de Gauss e calcule o erro comparando com a solução exata.
Passo 1
O enunciado dá 5 equações lineares em 4 incógnitas (x,y,z,w).
Conteúdo: sistemas lineares, eliminação de Gauss e decomposição LU.
O que precisamos:
• Montar a matriz aumentada da forma [A|b];
• Aplicar eliminação de Gauss para checar se há solução;
• Verificar que, como A é 5×4 (não quadrada), não faz sentido direto decompô-la em LU para resolver o sistema completo.
Conteúdo: sistemas lineares, eliminação de Gauss e decomposição LU.
O que precisamos:
• Montar a matriz aumentada da forma [A|b];
• Aplicar eliminação de Gauss para checar se há solução;
• Verificar que, como A é 5×4 (não quadrada), não faz sentido direto decompô-la em LU para resolver o sistema completo.
Passo 2
Construímos a matriz aumentada [A|b], com linhas = equações 1 a 5:
Agora aplicamos eliminação de Gauss (sem pivoteamento especial, só mostrando fatores):
-
Pivot na linha 1 (a₁₁=1):
R₂←R₂–R₁, R₃←R₃–2·R₁, R₄←R₄–3·R₁, R₅←R₅+R₁1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & -1 & -1 & -5 &|,& -7 0 & -4 & -1 & -7 &|,& -15 0 & 3 & 3 & 2 &|,& 8 -
Pivot na linha 2 (a₂₂=–3):
R₃←R₃–(–1/–3)R₂=R₃–(1/3)R₂;
R₄←R₄–(–4/–3)R₂=R₄–(4/3)R₂;
R₅←R₅–(3/–3)R₂=R₅+R₂1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & 0 & -tfrac43 & -4 &|,& -tfrac163 0 & 0 & -tfrac73 & -3 &|,& -tfrac253 0 & 0 & 4 & -1 &|,& 3 -
Pivot na linha 3 (a₃₃=–4/3):
R₄←R₄–(–7/3)/(–4/3)·R₃=R₄–(7/4)R₃;
R₅←R₅–(4/(–4/3))R₃=R₅+3·R₃1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & 0 & -tfrac43 & -4 &|,& -tfrac163 0 & 0 & 0 & 4 &|,& 1 0 & 0 & 0 & -13 &|,& -13 -
Pivot na linha 4 (a₄₄=4):
R₅←R₅–(–13/4)·R₄=R₅+(\tfrac{13}{4})R₄cdots & & & &|,& cdots 0 & 0 & 0 & 0 &|,& -tfrac394 Na última linha acabamos com
0·x + 0·y + 0·z + 0·w = –39/4,
o que é impossível.
Passo 3
Como a etapa de eliminação de Gauss leva a uma contradição (0 = –39/4), o sistema é incompatível.
Também não podemos montar diretamente uma decomposição LU para A, pois A é 5×4 (não quadrada) e não há solução única para extrair.
Também não podemos montar diretamente uma decomposição LU para A, pois A é 5×4 (não quadrada) e não há solução única para extrair.
Resposta
O sistema dado não tem solução (é incompatível).