Para cada um dos sistemas abaixo, calcular a solução usando o método LU e o método de eliminação de Gauss e calcule o erro comparando com a solução exata.
x+y+3 w=4
x-2 y+z=-1
2 x+y-z+w=1
3 x-y-z+2 w=-3
-x+2 y+3 z-w=4

Passo 1

O enunciado dá 5 equações lineares em 4 incógnitas (x,y,z,w).
Conteúdo: sistemas lineares, eliminação de Gauss e decomposição LU.
O que precisamos:
• Montar a matriz aumentada da forma [A|b];
• Aplicar eliminação de Gauss para checar se há solução;
• Verificar que, como A é 5×4 (não quadrada), não faz sentido direto decompô-la em LU para resolver o sistema completo.

Passo 2

Construímos a matriz aumentada [A|b], com linhas = equações 1 a 5:
1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 1 & -2 & 1 & 0 &|,& -1 2 & 1 & -1 & 1 &|,& 1 3 & -1 & -1 & 2 &|,& -3 -1& 2 & 3 & -1 &|,& 4
Agora aplicamos eliminação de Gauss (sem pivoteamento especial, só mostrando fatores):
  1. Pivot na linha 1 (a₁₁=1):
    R₂←R₂–R₁, R₃←R₃–2·R₁, R₄←R₄–3·R₁, R₅←R₅+R₁
    1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & -1 & -1 & -5 &|,& -7 0 & -4 & -1 & -7 &|,& -15 0 & 3 & 3 & 2 &|,& 8
  2. Pivot na linha 2 (a₂₂=–3):
    R₃←R₃–(–1/–3)R₂=R₃–(1/3)R₂;
    R₄←R₄–(–4/–3)R₂=R₄–(4/3)R₂;
    R₅←R₅–(3/–3)R₂=R₅+R₂
    1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & 0 & -tfrac43 & -4 &|,& -tfrac163 0 & 0 & -tfrac73 & -3 &|,& -tfrac253 0 & 0 & 4 & -1 &|,& 3
  3. Pivot na linha 3 (a₃₃=–4/3):
    R₄←R₄–(–7/3)/(–4/3)·R₃=R₄–(7/4)R₃;
    R₅←R₅–(4/(–4/3))R₃=R₅+3·R₃
    1 & 1 & 0 & 3 &|,& 4 0 & -3 & 1 & -3 &|,& -5 0 & 0 & -tfrac43 & -4 &|,& -tfrac163 0 & 0 & 0 & 4 &|,& 1 0 & 0 & 0 & -13 &|,& -13
  4. Pivot na linha 4 (a₄₄=4):
    R₅←R₅–(–13/4)·R₄=R₅+(\tfrac{13}{4})R₄
    cdots & & & &|,& cdots 0 & 0 & 0 & 0 &|,& -tfrac394
    Na última linha acabamos com
    0·x + 0·y + 0·z + 0·w = –39/4,
    o que é impossível.

Passo 3

Como a etapa de eliminação de Gauss leva a uma contradição (0 = –39/4), o sistema é incompatível.
Também não podemos montar diretamente uma decomposição LU para A, pois A é 5×4 (não quadrada) e não há solução única para extrair.

Resposta

O sistema dado não tem solução (é incompatível).

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