Para cada um dos sistemas abaixo verificaremos as condições de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
I. Verificar a condição de convergência de matriz diagonal estritamente dominante.
II. Se o item I) não for verificado, tente reordenar as linhas e diga se é possível.
III. Verifique a condição de convergência da norma, tal verificação deve ser feita para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel separadamente.
IV. Escolha um dos métodos (Jacobi ou Gauss-Seidel) para resolver um sistema linear levando em consideração a tolerância ou atingir a 5 iterações.
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar a parada. A questão é sobre aquele sistema
\
4x – y + 3z = 2
–x + 5y + 3z = 3
–x + 4y + 2z = 3
\
O conteúdo é métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) e as condições de convergência. Pra resolver vamos precisar:
Verificar se a matriz do sistema é estritamente diagonal dominante;
Se não for, tentar trocar linhas pra ver se fica;
Calcular a norma (∞) das matrizes de iteração de Jacobi e Gauss-Seidel pra checar convergência;
Escolher um dos métodos e iterar até a tolerância ε < 4×10⁻² ou até 5 iterações.
Passo 2
Primeiro, dominância diagonal estrita. A matriz dos coeficientes é
\
A =
\
Pra cada linha i a gente checa se
\
\lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\neq i} \lvert a_{ij}\rvert.
\
Linha 1: |4| ? > |–1| + |3| → 4 > 1+3 =4 😕 não é >, é = → falha.
Linha 2: |5| > |–1|+|3| → 5 >4 ok.
Linha 3: |2| > |–1|+|4| → 2 >5 não ok.
Conclusão: A não é estritamente diagonal dominante.
Passo 3
Tentar reordenar as linhas pra ver se dá pra ficar dominante. Você troca as equações de lugar, mas acaba sempre sobrando uma linha que não satisfaz |aᵢᵢ| > soma dos outros na linha. Depois de testar as permutações possíveis, fica claro que NÃO dá pra deixar todas as 3 linhas estritamente dominantes.
Passo 4
Agora a norma ∞ das matrizes de iteração.
Método de Jacobi:
B_J = –D⁻¹ (L+U), onde
D = diag(4,5,2),
L+U = A–D = 0 & -1 & 3 -1 & 0 & 3 -1 & 4 & 0.
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B_J = 0 & -(-1)/4 & -(3)/4 -(-1)/5 & 0 & -(3)/5 -(-1)/2 & -(4)/2 & 0
= 0 & 1/4 & -3/4 1/5 & 0 & -3/5 1/2 & -2 & 0 .
A norma ∞ é o max da soma das linhas em valor absoluto:
linha1 → 0 + ¼ + ¾ = 1
linha2 → ⅕ + 0 + ⅗ = 4/5 = 0.8
linha3 → ½ + 2 + 0 = 2.5
∥B_J∥∞ = 2.5 > 1 → Jacobi não garante convergência.
Método de Gauss-Seidel:
B_GS = –(D+L)⁻¹ U, com
D+L = 4 &0&0-1&5&0-1&4&2,
U = 0&-1&30&0&30&0&0.
Resolvendo (D+L) B_GS = –U por colunas, achamos
B_GS = 0 & 1/4 & -3/4 0 & 1/20 & -3/4 0 & 1/40 & 9/8 .
Somando as linhas:
linha1 → 1
linha2 → 0.05 + 0.75 = 0.80
linha3 → 0.025 + 1.125 = 1.15
∥B_GS∥∞ = 1.15 > 1 → Gauss-Seidel também não garante convergência.
Passo 5
Mesmo sem garantia teórica, escolhemos Gauss-Seidel (geralmente converge mais rápido) e rodamos até ε < 4×10⁻² ou 5 iterações. Começando em x⁽⁰⁾=(0,0,0), a fórmula iterativa é
x₁^{(k)} = (2 + y^{(k-1)} – 3 z^{(k-1)})/4
x₂^{(k)} = (3 + x^{(k)} – 3 z^{(k-1)})/5
x₃^{(k)} = (3 + x^{(k)} – 4 y^{(k)})/2.
Depois de 5 iterações a gente chega em
x^{(5)} ≈ (–0.845,; –0.604,; 2.285)
e a diferença entre a 5ª e a 4ª iteração ainda é > 0.04, então paramos em 5 iterações.
Resposta
– A matriz não é estritamente diagonal dominante e não fica por reordenamento.
– ∥B_J∥∞ = 2.5 >1 e ∥B_GS∥∞ = 1.15 >1 → nenhum método garante convergência.
– Usando Gauss-Seidel por 5 iterações:
x ≈ (–0.845,; –0.604,; 2.285).