Exercício 3: Resolva o sistema retendo duas casas decimais e calcule o erro considerando três casas decimais.
b)
x1+x2+2 x3+4 x4 & =-1 x1+x2+5 x3+6 x4 & =-7 2 x1+5 x2+x3+2 x4 & =10 4 x1+6 x2+2 x3+x4 & =12
Apresentar o sistema linear triangularizado e calcular o erro.
Gabarito:
a) Solução: barx=[lll2,23 & 1,01 & -2,25]^t.
b) Solução: x=[llll1 & 2 & -2 & 0]^t.
Estas soluções podem diferir ligeiramente das suas.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver um sistema 4×4 pelo método de Gauss, mas a cada operação a gente só guarda duas casas decimais. Depois, com a solução aproximada, calcular o erro (absoluto) guardando três casas decimais.
Conteúdo: eliminação de Gauss, arredondamento de valores intermediários e cálculo de erro absoluto.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e fazer eliminação de Gauss, guardando duas casas em cada passo:
Matriz inicial (com duas casas em cada entrada):
1.00 & 1.00 & 2.00 & 4.00 & | & -1.00 1.00 & 1.00 & 5.00 & 6.00 & | & -7.00 2.00 & 5.00 & 1.00 & 2.00 & | & 10.00 4.00 & 6.00 & 2.00 & 1.00 & | & 12.00
  1. Eliminação na coluna 1 usando a primeira linha como pivô (multiplicadores arredondados a duas casas):
  • 1.00 & 1.00 & 2.00 & 4.00 & | & -1.00 0.00 & 0.00 & 3.00 & 2.00 & | & -6.00 0.00 & 3.00 & -3.00 & -6.00 & | & 12.00 0.00 & 2.00 & -6.00 & -15.00 & | & 16.00
    1.00 & 1.00 & 2.00 & 4.00 & | & -1.00 0.00 & 3.00 & -3.00 & -6.00 & | & 12.00 0.00 & 0.00 & 3.00 & 2.00 & | & -6.00 0.00 & 2.00 & -6.00 & -15.00 & | & 16.00
  • 1.00 & 1.00 & 2.00 & 4.00 & | & -1.00 0.00 & 3.00 & -3.00 & -6.00 & | & 12.00 0.00 & 0.00 & 3.00 & 2.00 & | & -6.00 0.00 & -0.01 & -3.99 & -10.98 & | & 7.96
    1.00 & 1.00 & 2.00 & 4.00 & | & -1.00 0.00 & 3.00 & -3.00 & -6.00 & | & 12.00 0.00 & 0.00 & 3.00 & 2.00 & | & -6.00 0.00 & -0.01 & 0.00 & -8.32 & | & -0.02

Agora a matriz é
Como em o pivô na coluna 2 ficou zero, trocamos :
  1. Eliminação na coluna 2 a partir de :
  • Multiplicador
    :
Ficamos com
  1. Eliminação na coluna 3 a partir de :

  • :
Matriz quase triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal arredondados a duas casas):
Repare que o em é bem pequeno (erro de arredondamento), então para preservar a forma triangular vamos tratá-lo como zero e usar essa última equação para isolar .

Passo 3

Agora vem a substituição regressiva, sempre arredondando a duas casas:
Da última linha (tratando -8.32,x4 = -0.02 Longrightarrow x4 = -0.02-8.32 approx 0.00 ):
3.00,x3 + 2.00,(0.00) = -6.00 Longrightarrow x3 = -6.003.00 = -2.00
Terceira linha:
3.00,x2 ;-;3.00,(-2.00);-;6.00,(0.00)=12.00 Longrightarrow 3.00,x2 =12.00 -(-6.00)=6.00 ;Longrightarrow; x2=2.00
Segunda linha:
x1 +1.00,(2.00)+2.00,(-2.00)+4.00,(0.00) = -1.00 Longrightarrow x1 = -1.00 -2.00 +4.00 =1.00
Primeira linha:
bar x = 1.00 2.00 -2.00 0.00
Solução aproximada (duas casas):

Passo 4

Erro absoluto em cada componente, usando a solução exata ei = l|xi - bar xir| e guardando três casas:
e = |1-1.00| |2-2.00| |-2-(-2.00)| |0-0.00| = 0.000 0.000 0.000 0.000
Como bate exatamente com , temos
[
e =

.
]

Resposta

Solução aproximada (duas casas):
.
Erro absoluto (três casas):
.

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