(1) Em cada um dos sistemas abaixo
  • Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
  • Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
\left\{\begin{array}{l}10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=27 \\\ -3 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}=-61,5 \x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=-21,5\end{array}\right.
Compare com o exercício (1) de Elininação de Gauss e o exercício 2 de Decomposição LU.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=27\\[4pt] -3x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=-61,5\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-21,5 \end{cases}
  1. Verificar se o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para esse sistema.
  2. Se convergir, aplicar Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5\% e entregar a solução aproximada.
Informações fornecidas que usaremos: os coeficientes do sistema (a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito) e o valor de tolerância \varepsilon_{s}=5\%. Não há outra informação (por exemplo, chute inicial), então usarei o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).]

Passo 2

O que é Gauss–Seidel (em palavras simples)?
  • É um método iterativo para resolver \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}. A cada iteração atualizamos as componentes de \mathbf{x} uma a uma, usando os valores já atualizados no mesmo passo (por isso é geralmente mais rápido que Jacobi).
  • Uma forma prática: isolamos cada x_i na respectiva equação e, na iteração k+1, calculamos x_i^{(k+1)} usando as componentes já atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as antigas x_{i+1}^{(k)},\dots,x_{n}^{(k)}.
Critério simples suficiente para garantir convergência: matriz estritamente diagonal dominante por linhas.
  • Definição: uma matriz \mathbf{A}=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
  • Teorema (usaremos como suficiente): se \mathbf{A} é estritamente diagonal dominante por linhas, Gauss–Seidel converge para a solução única, independentemente do chute inicial.
Vamos checar a diagonal dominante da matriz deste sistema. A matriz dos coeficientes é
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -1\\[4pt] -3 & -6 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Verificamos linha a linha:
  • Para i=1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Então 10>3 (ok).
  • Para i=2: |a_{22}|=|-6|=6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|-3|+|2|=3+2=5. Então 6>5 (ok).
  • Para i=3: |a_{33}|=|5|=5 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|1|+|1|=2. Então 5>2 (ok).
Conclusão desta verificação: a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas, portanto, pelo critério suficiente, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema (qualquer chute inicial). Vou então aplicar Gauss–Seidel com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).]

Passo 3

Vamos escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada variável nas equações (isso é o que você deve fazer na prova, passo a passo):
Da primeira equação 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=27 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(27-2x_{2}+x_{3}\bigr).
Da segunda equação -3x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=-61,5 isolamos x_{2}. Reescrevendo:
-6x_{2}=-61,5+3x_{1}-2x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{61,5-3x_{1}+2x_{3}}{6}.
Da terceira equação x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-21,5 isolamos x_{3}:
5x_{3}=-21,5-x_{1}-x_{2}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-21,5-x_{1}-x_{2}}{5}.
Regras de atualização (Gauss–Seidel): na iteração k+1 usamos os valores atualizados assim:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}&=\frac{61,5-3x_{1}^{(k+1)}+2x_{3}^{(k)}}{6},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}&=\frac{-21,5-x_{1}^{(k+1)}-x_{2}^{(k+1)}}{5}. \end{aligned}
Agora definimos a métrica de parada (como me pediram percentagem relativa): usarei o erro relativo aproximado percentual máximo entre componentes
\varepsilon_{\text{máx}}^{(k+1)}= \max_{i=1,2,3}\left\{ \left|\frac{x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}}{x_{i}^{(k+1)}}\right|\right\}\times100\%.á
Paro quando \varepsilon_{\text{máx}}<5\%á. Obs.: este é um critério padrão de erro relativo aproximado; na prova explique exatamente qual definição você usa.]

Passo 4

Aplicando as fórmulas com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2\cdot 0 + 0\bigr)=\frac{27}{10}=2,7,\\[6pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{61,5-3\cdot 2,7 +2\cdot 0}{6}=\frac{61,5-8,1}{6}=\frac{53,4}{6}=8,9,\\[6pt] x_{3}^{(1)}&=\frac{-21,5-2,7-8,9}{5}=\frac{-33,1}{5}=-6,62. \end{aligned}
Erro relativo percentual aproximado (comparando com \mathbf{x}^{(0)}):
\varepsilon_{\text{máx}}^{(1)}=\max\{100\%,100\%,100\%\}=100\%>5\% \quad\text{(continua)}.á]

Passo 5

Usando \mathbf{x}^{(1)}=(2,7,\;8,9,\;-6,62):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2\cdot 8,9 +(-6,62)\bigr) =\frac{27-17,8-6,62}{10}=\frac{2,58}{10}=0,258,\\[6pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{61,5-3\cdot 0,258 +2\cdot(-6,62)}{6} =\frac{61,5-0,774-13,24}{6}=\frac{47,486}{6}=7,914333\ldots,\\[6pt] x_{3}^{(2)}&=\frac{-21,5-0,258-7,914333\ldots}{5} =\frac{-29,672333\ldots}{5}=-5,9344666\ldots \end{aligned}
Erro relativo percentual máximo:
\varepsilon_{\text{máx}}^{(2)}=\max\Big\{\big|\tfrac{0,258-2,7}{0,258}\big|,\\ \big|\tfrac{7,914333-8,9}{7,914333}\big|,\\ \big|\tfrac{-5,934467+6,62}{-5,934467}\big|\Big\}\times100\%\approx 946{,}5\%>5\%.á
(Comentário prático: quando uma componente nova fica pequena, o erro relativo pode explodir — por isso continuamos as iterações.)]

Passo 6

Usando \mathbf{x}^{(2)}\approx(0,258,\;7,914333,\;-5,934467):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2\cdot 7,914333 +(-5,934467)\bigr) \approx\frac{27-15,828666-5,934467}{10}=\frac{5,236867}{10}=0,5236867,\\[6pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{61,5-3\cdot 0,5236867 +2\cdot(-5,934467)}{6} \approx\frac{61,5-1,5710601-11,868934}{6}=\frac{48,060006}{6}=8,0100010,\\[6pt] x_{3}^{(3)}&=\frac{-21,5-0,5236867-8,0100010}{5} \approx\frac{-30,0336877}{5}=-6,00673755. \end{aligned}
Erro relativo percentual máximo:
\varepsilon_{\text{máx}}^{(3)}\approx\max\{50{,}76\%,\,1{,}19\%,\,1{,}20\%\}=50{,}76\%>5\%.á]

Passo 7

Usando \mathbf{x}^{(3)}\approx(0,5236867,\;8,0100010,\;-6,0067376):
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2\cdot 8,0100010 +(-6,0067376)\bigr) \approx\frac{27-16,0200020-6,0067376}{10}=\frac{4,9732604}{10}=0,49732604,\\[6pt] x_{2}^{(4)}&=\frac{61,5-3\cdot 0,49732604 +2\cdot(-6,0067376)}{6} \approx\frac{61,5-1,4919781-12,0134752}{6}=\frac{47,9945467}{6}=7,99909111,\\[6pt] x_{3}^{(4)}&=\frac{-21,5-0,49732604-7,99909111}{5} \approx\frac{-29,99641715}{5}=-5,99928343. \end{aligned}
Erro relativo percentual máximo:
\varepsilon_{\text{máx}}^{(4)}\approx\max\{5{,}30\%,\,0{,}14\%,\,0{,}12\%\}=5{,}30\%>5\%.á
Ainda não atingimos a tolerância por causa de x_{1} que oscilou um pouco.]

Passo 8

Usando \mathbf{x}^{(4)}\approx(0,49732604,\;7,99909111,\;-5,99928343):
\begin{aligned} x_{1}^{(5)}&=\frac{1}{10}\bigl(27-2\cdot 7,99909111 +(-5,99928343)\bigr) \approx\frac{27-15,99818222-5,99928343}{10}=\frac{5,00253435}{10}=0,500253435,\\[6pt] x_{2}^{(5)}&=\frac{61,5-3\cdot 0,500253435 +2\cdot(-5,99928343)}{6} \approx\frac{61,5-1,500760305-11,99856686}{6}=\frac{48,00067283}{6}=8,00011214,\\[6pt] x_{3}^{(5)}&=\frac{-21,5-0,500253435-8,00011214}{5} \approx\frac{-30,000365575}{5}=-6,000073115. \end{aligned}
Erro relativo percentual máximo:
\varepsilon_{\text{máx}}^{(5)}\approx\max\{0{,}585\%,\,0{,}013\%,\,0{,}013\%\}=0{,}585\%<5\%.á
Portanto, na iteração 5 (isto é, após 5 iterações completas) atingimos a tolerância exigida \varepsilon_{s}=5\%.]

Passo 9

  • Como a matriz é estritamente diagonal dominante, a convergência era esperada e ocorreu de fato.
  • A solução aproximada obtida por Gauss–Seidel é
\mathbf{x}^{(5)}\approx \begin{pmatrix} 0,500253435\\[4pt] 8,00011214\\[4pt] -6,000073115 \end{pmatrix}.
  • Em problemas práticos (ou na prova) você pode arredondar para um número de casas coerente, por exemplo \mathbf{x}\approx(0,5003,\;8,0001,\;-6,0001).
  • Essa solução deve concordar com a solução obtida por eliminação de Gauss ou por decomposição LU (os três métodos resolvem o mesmo sistema linear exato, desde que aplicados corretamente).]

Resposta

Gauss–Seidel gera sequência convergente: Sim (matriz estritamente diagonal dominante).
Solução aproximada com \varepsilon_{s}=5\%: \;x_{1}\approx0,500253435,\;x_{2}\approx8,00011214,\;x_{3}\approx-6,000073115.

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