Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
Verificar se o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para esse sistema.
Se convergir, aplicar Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5\% e entregar a solução aproximada.
Informações fornecidas que usaremos: os coeficientes do sistema (a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito) e o valor de tolerância \varepsilon_{s}=5\%. Não há outra informação (por exemplo, chute inicial), então usarei o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).]
Passo 2
O que é Gauss–Seidel (em palavras simples)?
É um método iterativo para resolver \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}. A cada iteração atualizamos as componentes de \mathbf{x} uma a uma, usando os valores já atualizados no mesmo passo (por isso é geralmente mais rápido que Jacobi).
Uma forma prática: isolamos cada x_i na respectiva equação e, na iteração k+1, calculamos x_i^{(k+1)} usando as componentes já atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as antigas x_{i+1}^{(k)},\dots,x_{n}^{(k)}.
Critério simples suficiente para garantir convergência: matriz estritamente diagonal dominante por linhas.
Definição: uma matriz \mathbf{A}=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Teorema (usaremos como suficiente): se \mathbf{A} é estritamente diagonal dominante por linhas, Gauss–Seidel converge para a solução única, independentemente do chute inicial.
Vamos checar a diagonal dominante da matriz deste sistema. A matriz dos coeficientes é
Para i=1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Então 10>3 (ok).
Para i=2: |a_{22}|=|-6|=6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|-3|+|2|=3+2=5. Então 6>5 (ok).
Para i=3: |a_{33}|=|5|=5 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|1|+|1|=2. Então 5>2 (ok).
Conclusão desta verificação: a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas, portanto, pelo critério suficiente, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema (qualquer chute inicial). Vou então aplicar Gauss–Seidel com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).]
Passo 3
Vamos escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada variável nas equações (isso é o que você deve fazer na prova, passo a passo):
Da primeira equação 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=27 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(27-2x_{2}+x_{3}\bigr).
Da segunda equação -3x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=-61,5 isolamos x_{2}. Reescrevendo:
Paro quando \varepsilon_{\text{máx}}<5\%á. Obs.: este é um critério padrão de erro relativo aproximado; na prova explique exatamente qual definição você usa.]
Passo 4
Aplicando as fórmulas com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0):
Em problemas práticos (ou na prova) você pode arredondar para um número de casas coerente, por exemplo \mathbf{x}\approx(0,5003,\;8,0001,\;-6,0001).
Essa solução deve concordar com a solução obtida por eliminação de Gauss ou por decomposição LU (os três métodos resolvem o mesmo sistema linear exato, desde que aplicados corretamente).]
Resposta
Gauss–Seidel gera sequência convergente: Sim (matriz estritamente diagonal dominante).
Solução aproximada com \varepsilon_{s}=5\%: \;x_{1}\approx0,500253435,\;x_{2}\approx8,00011214,\;x_{3}\approx-6,000073115.