(2) Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa para o seguinte sistema. Não use pivotamento e verifique seus resultados comprovando que [A][A]^{-1}=[I]. Compare com o exercício (1) da eliminação de Gauss.
O enunciado dá um sistema linear de três equações e pede que eu determine a matriz inversa usando decomposição LU (sem pivotamento), verifique que [[A][A]^{-1}=[I]) e compare com o exercício (1) da eliminação de Gauss. As informações dadas são:
A decomposição LU (sem pivotamento) e a explicação passo a passo;
A matriz inversa [A]^{-1}\] encontrada via LU (resolvendo uma coluna da matriz identidade por vez);
- A verificação \([A][A]^{-1}=[I];
- Uma comparação com o método de eliminação de Gauss (exercício (1)).]
Passo 2
Breve aula sobre decomposição LU (método que vou usar) — explicando fórmulas e o raciocínio:
Ideia: escrever [A]=[L][U], onde [L] é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e [U] é triangular superior. Depois, para obter [A]^{-1} resolvemos [A]X=I coluna a coluna: para cada vetor coluna \mathbf{b}=e_k (coluna canônica) resolvemos [L]\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente e depois [U]\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás; \mathbf{x} será a coluna k de [A]^{-1}.
Método Doolittle (que uso aqui): construo [L] com uns na diagonal e [U] com a primeira linha de [A] como primeira linha de [U]. As fórmulas (índices i,j) são:
Explico: a_{ij} são os elementos de [A]; l_{ij} e u_{ij} são os elementos que quero em L e U. Essas fórmulas dizem: para obter um elemento de U eu subtraio as contribuições já calculadas (\sum l_{ik}u_{kj}); e para obter um elemento de L eu utilizo o elemento de U da diagonal correspondente para dividir a diferença.
Passo 3
Aplicando Doolittle ao nosso [A]. Vou trabalhar com frações sempre que possível para evitar erros de arredondamento.
(Faça uma pausa: perceba que os l_{ij} são os multiplicadores que apareceriam na eliminação de Gauss sem pivotamento — é a mesma informação, só organizada como L e U.)]
Passo 4
Como eu disse antes, para achar [A]^{-1} resolvo [A]X=I coluna a coluna. Para cada coluna canônica \mathbf{e}_k faço:
Resolver [L]\mathbf{y}=\mathbf{e}_k por substituição para frente (fácil porque L é triangular inferior com 1 na diagonal).
Resolver [U]\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás (porque U é triangular superior).
Explico as duas substituições:
Substituição para frente (L): escrevendo as equações na ordem de cima para baixo, cada y_i depende apenas de y_1,\dots,y_{i-1} já calculados.
Substituição para trás (U): escrevendo da última equação para a primeira, cada x_i é obtido dividindo pela u_{ii} o que sobra depois de subtrair as contribuições dos x_j já conhecidos (j>i).
Vou aplicar isso para k=1,2,3.
Passo 5
Coluna 1: resolvo [[L]\mathbf{y}=\mathbf{e}_1) com \mathbf{e}_1=(1,0,0)^T.
Mostro o produto A\cdot M (devia dar 289I) calculando as colunas:
Coluna 1: A\cdot(32,-17,-3)^T = (289,0,0)^T.
Coluna 2: A\cdot(11,-51,8)^T = (0,289,0)^T.
Coluna 3: A\cdot(2,17,54)^T = (0,0,289)^T.
Portanto A\cdot M = 289 I, e dividindo por 289 obtemos exatamente [A][A]^{-1}=[I]. A verificação está completa.]
Passo 10
Comparação com eliminação de Gauss (exercício (1)): os multiplicadores l_{21},l_{31},l_{32} que apareceram na construção de L são precisamente os mesmos que surgem quando se faz a eliminação de Gauss sem pivotamento; por isso os dois métodos dão o mesmo resultado final para [A]^{-1}. Ou seja, se no exercício (1) você obteve a inversa por eliminação de Gauss, o resultado deve coincidir com a matriz que obtive acima (mesmos números). Se quiser, posso comparar termo a termo com sua solução do exercício (1) — me mande os valores que você obteve que eu confirmo.
[A][A]^{-1}=[I] verificado.
Comparação: coincide com o resultado obtido pela eliminação de Gauss (exercício (1)) — os métodos são equivalentes e devem produzir a mesma matriz inversa.]