(3) O seguinte sistema de equações é projetado para determinar as concentrações (os c’s em g / m^{3} ) em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de entrada de massa em cada reator (o lado direito está em g/dia),
Há várias formas de encontrar a inversa de uma matriz 3\times3: eliminação de Gauss-Jordan (operando a matriz aumentada [A\mid I]) ou pela fórmula com a adjunta (adjugate) e o determinante:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Para matrizes 3\times3 a fórmula com \operatorname{adj}(A) é direta e permite calcular cofatores menores explicitamente, produzindo frações relativamente simples e exatas. Vou usar esse método porque nos dá entradas simplificáveis e evita muitas linhas de operações com frações. Em seguida, utilizarei a inversa para calcular c=A^{-1}b por multiplicação de matriz por vetor.
Antes de aplicar a fórmula, preciso ensinar rapidamente o que é cada coisa:
\det(A) é o determinante da matriz, um número escalar calculado por expansão por cofatores ou por regra de Sarrus (para 3\times3).
\operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante do submatriz obtida ao remover a linha i e a coluna j.
Passo 3
Cálculo do determinante \det(A).
Vou expandir pela primeira linha (fórmula de Laplace):
Explico como multiplicar uma matriz 3\times3 por um vetor 3\times1: cada componente c_{i} é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz pelos componentes do vetor b:
c_{i}=\sum_{j=1}^{3}(A^{-1})_{ij}\,b_{j}.
Calculo cada componente com as frações simplificadas: