(3) O seguinte sistema de equações é projetado para determinar as concentrações (os c’s em g / m^{3} ) em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de entrada de massa em cada reator (o lado direito está em g/dia),
\left\{\begin{array}{l} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3}=3800 \\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3}=1200 \\\\ -4 c_{1}-c_{2}+12 c_{3}=2350 \end{array}\right.
(a) Determine a matriz inversa.
(b) Use a inversa para determinar a solução.

Passo 1

O enunciado fornece três equações lineares que envolvem as incógnitas c_{1},c_{2},c_{3} (em g/m^{3}) e pede duas coisas:
  1. Determinar a matriz inversa da matriz dos coeficientes.
  2. Usar essa inversa para determinar a solução (c_{1},c_{2},c_{3}) quando o vetor do lado direito é dado.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
\begin{aligned} 15c_{1}-3c_{2}-c_{3} &= 3800,\\\\ -3c_{1}+18c_{2}-6c_{3} &= 1200,\\\\ -4c_{1}-c_{2}+12c_{3} &= 2350. \end{aligned}
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}15 & -3 & -1\\\\ -3 & 18 & -6\\\\ -4 & -1 & 12\end{pmatrix}
e o vetor do lado direito é
b=\begin{pmatrix}3800\\\ 1200\\\ 2350\end{pmatrix}.

Passo 2

Escolha do método para obter A^{-1}.
Há várias formas de encontrar a inversa de uma matriz 3\times3: eliminação de Gauss-Jordan (operando a matriz aumentada [A\mid I]) ou pela fórmula com a adjunta (adjugate) e o determinante:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Para matrizes 3\times3 a fórmula com \operatorname{adj}(A) é direta e permite calcular cofatores menores explicitamente, produzindo frações relativamente simples e exatas. Vou usar esse método porque nos dá entradas simplificáveis e evita muitas linhas de operações com frações. Em seguida, utilizarei a inversa para calcular c=A^{-1}b por multiplicação de matriz por vetor.
Antes de aplicar a fórmula, preciso ensinar rapidamente o que é cada coisa:
  • \det(A) é o determinante da matriz, um número escalar calculado por expansão por cofatores ou por regra de Sarrus (para 3\times3).
  • \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante do submatriz obtida ao remover a linha i e a coluna j.

Passo 3

Cálculo do determinante \det(A).
Vou expandir pela primeira linha (fórmula de Laplace):
\det(A)=15\cdot\det\begin{pmatrix}18 & -6\\\\ -1 & 12\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -6\\\\ -4 & 12\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 18\\\\ -4 & -1\end{pmatrix}.
Calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}18 & -6\\\\ -1 & 12\end{pmatrix}=18\cdot12-(-6)\cdot(-1)=216-6=210,
\det\begin{pmatrix}-3 & -6\\\\ -4 & 12\end{pmatrix}=(-3)\cdot12-(-6)\cdot(-4)=-36-24=-60,
\det\begin{pmatrix}-3 & 18\\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=(-3)\cdot(-1)-18\cdot(-4)=3+72=75.
Agora substituo:
\det(A)=15\cdot210 -(-3)\cdot(-60)+(-1)\cdot75 =3150 - 180 -75 =2895.
Portanto
\det(A)=2895.
Observação: 2895=15\cdot193 (fatoração para ver simplificações posteriores).

Passo 4

Cálculo da matriz dos cofatores e da adjunta.
Para cada posição (i,j) calculo o menor M_{ij} (determinante do 2\times2 que sobra) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Já calculámos alguns ao expandir, mas agora faço todos sistematicamente:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}18 & -6\\\\ -1 & 12\end{pmatrix}=210, então C_{11}=+210.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}-3 & -6\\\\ -4 & 12\end{pmatrix}=-60, então C_{12}=(-1)^{1+2}(-60)=+60.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}-3 & 18\\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=75, então C_{13}=+75.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\\ -1 & 12\end{pmatrix}=(-3)\cdot12-(-1)\cdot(-1)=-36-1=-37, então C_{21}=(-1)^{2+1}(-37)=+37.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}15 & -1\\\\ -4 & 12\end{pmatrix}=15\cdot12-(-1)\cdot(-4)=180-4=176, então C_{22}=+176.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}15 & -3\\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=15\cdot(-1)-(-3)\cdot(-4)=-15-12=-27, então C_{23}=(-1)^{2+3}(-27)=+27.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\\ 18 & -6\end{pmatrix}=(-3)\cdot(-6)-(-1)\cdot18=18+18=36, então C_{31}=+36.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}15 & -1\\\\ -3 & -6\end{pmatrix}=15\cdot(-6)-(-1)\cdot(-3)=-90-3=-93, então C_{32}=(-1)^{3+2}(-93)=+93.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}15 & -3\\\\ -3 & 18\end{pmatrix}=15\cdot18-(-3)\cdot(-3)=270-9=261, então C_{33}=+261.
A matriz dos cofatores C é
C=\begin{pmatrix}210 & 60 & 75\\\\ 37 & 176 & 27\\\\ 36 & 93 & 261\end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}210 & 37 & 36\\[4pt]60 & 176 & 93\\[4pt]75 & 27 & 261\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formação de A^{-1} usando A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) e simplificação das frações.
Temos \det(A)=2895. Então
A^{-1}=\frac{1}{2895}\begin{pmatrix}210 & 37 & 36\\\\ 60 & 176 & 93\\\\ 75 & 27 & 261\end{pmatrix}.
Agora simplifico cada entrada dividindo numerador e denominador por fatores comuns quando possível (lembre que 2895=15\cdot193):
\begin{aligned} \frac{210}{2895} &= \frac{210\div15}{2895\div15}=\frac{14}{193},\\[4pt] \frac{37}{2895} &\text{ não simplifica mais }=\frac{37}{2895},\\[4pt] \frac{36}{2895} &= \frac{36\div3}{2895\div3}=\frac{12}{965},\\[4pt] \frac{60}{2895} &= \frac{60\div15}{2895\div15}=\frac{4}{193},\\[4pt] \frac{176}{2895} &\text{ não simplifica (gcd \(=1\)) }=\frac{176}{2895},\\[4pt] \frac{93}{2895} &= \frac{93\div3}{2895\div3}=\frac{31}{965},\\[4pt] \frac{75}{2895} &= \frac{75\div15}{2895\div15}=\frac{5}{193},\\[4pt] \frac{27}{2895} &= \frac{27\div3}{2895\div3}=\frac{9}{965},\\[4pt] \frac{261}{2895} &= \frac{261\div3}{2895\div3}=\frac{87}{965}. \end{aligned}ãã
Portanto uma forma simplificada de A^{-1} é
A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{14}{193} & \frac{37}{2895} & \frac{12}{965}\\[4pt] \frac{4}{193} & \frac{176}{2895} & \frac{31}{965}\\[4pt] \frac{5}{193} & \frac{9}{965} & \frac{87}{965} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Usar A^{-1} para encontrar c=A^{-1}b.
Explico como multiplicar uma matriz 3\times3 por um vetor 3\times1: cada componente c_{i} é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz pelos componentes do vetor b:
c_{i}=\sum_{j=1}^{3}(A^{-1})_{ij}\,b_{j}.
Calculo cada componente com as frações simplificadas:
Componente c_{1}:
\begin{aligned} c_{1}&=\frac{14}{193}\cdot3800+\frac{37}{2895}\cdot1200+\frac{12}{965}\cdot2350\\[4pt] &=\frac{14\cdot3800}{193}+\frac{37\cdot1200}{2895}+\frac{12\cdot2350}{965}. \end{aligned}
Simplificando cada termo (para ter denominador comum 193):
\frac{14\cdot3800}{193}=\frac{53200}{193},\qquad \frac{37\cdot1200}{2895}=\frac{44400}{2895}=\frac{2960}{193},\qquad \frac{12\cdot2350}{965}=\frac{28200}{965}=\frac{5640}{193}.
Somando:
c_{1}=\frac{53200+2960+5640}{193}=\frac{61800}{193}.
Componente c_{2}:
\begin{aligned} c_{2}&=\frac{4}{193}\cdot3800+\frac{176}{2895}\cdot1200+\frac{31}{965}\cdot2350\\[4pt] &=\frac{15200}{193}+\frac{211200}{2895}+\frac{72850}{965}. \end{aligned}
Simplificando os termos para denominador 193:
\frac{211200}{2895}=\frac{14080}{193},\qquad \frac{72850}{965}=\frac{14570}{193}.
Somando:
c_{2}=\frac{15200+14080+14570}{193}=\frac{43850}{193}.
Componente c_{3}:
\begin{aligned} c_{3}&=\frac{5}{193}\cdot3800+\frac{9}{965}\cdot1200+\frac{87}{965}\cdot2350\\[4pt] &=\frac{19000}{193}+\frac{10800}{965}+\frac{204450}{965}. \end{aligned}
Colocando em denominador 193:
\frac{10800}{965}=\frac{2160}{193},\qquad \frac{204450}{965}=\frac{40890}{193},
logo
c_{3}=\frac{19000+2160+40890}{193}=\frac{62050}{193}.
Se for útil ter aproximações decimais:
\frac{61800}{193}\approx 320{,}207,\qquad \frac{43850}{193}\approx 227{,}202,\qquad \frac{62050}{193}\approx 321{,}503.]

Resposta

(a) A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{14}{193} & \frac{37}{2895} & \frac{12}{965}\\[4pt] \frac{4}{193} & \frac{176}{2895} & \frac{31}{965}\\[4pt] \frac{5}{193} & \frac{9}{965} & \frac{87}{965} \end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\\[4pt]c_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{61800}{193}\\[6pt]\dfrac{43850}{193}\\[6pt]\dfrac{62050}{193}\end{pmatrix}]

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