Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
Verificar se o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema.
Se sim, aplicar Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual seja menor que \varepsilon_{s}=5\%.
Informações dadas: a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes (já acima). Não foi dado chute inicial, então usarei o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0). A resolução começa a seguir.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática)?
É um método iterativo para resolver sistemas lineares A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Em cada iteração, atualizamos cada componente x_i usando a fórmula isolada da equação i, sempre usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração (por isso é mais rápido que Jacobi em muitos casos).
Se escrevemos A=(a_{ij}) e isolamos x_i na i-ésima equação, a fórmula geral de Gauss–Seidel é
Aqui x_j^{(k)} já é o valor atualizado quando j<i, e x_j^{(k-1)} é o valor da iteração anterior quando j>i.
Critério clássico suficiente de convergência (que vou usar): se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para todo i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então Gauss–Seidel gera uma sequência que converge para a solução do sistema. Esse critério é suficiente (não necessário), então se não for satisfeito podemos tentar permutar as linhas para alcançar domínio diagonal estrito — permutar linhas não altera a solução do sistema, apenas troca a ordem das equações.
Passo 3
Verificação de dominância diagonal na ordem dada (não resolver ainda): a matriz A é
Calculo das somas das demais entradas em cada linha:
Linha 1: |a_{11}|=3 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|12|=13. Como 3\not>13, não é estritamente dominante na linha 1.
Linha 2: |a_{22}|=1 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=6+1=7. Não dominante.
Linha 3: |a_{33}|=1 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=6+9=15. Não dominante.
Conclusão: na ordem dada a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante, então não podemos afirmar diretamente a convergência por esse critério.]
Passo 4
Tentativa de permutar equações para obter dominância diagonal: vou testar uma permutação de linhas porque isso não muda a solução e pode permitir obter dominância diagonal. Colocando a segunda equação como primeira, a terceira como segunda e a primeira como terceira (permutação de linhas na ordem \{2,3,1\}\)), o sistema fica
\[\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}-x_{3}=3,\\[4pt] 6x_{1}+9x_{2}+x_{3}=40,\\[4pt] -3x_{1}+x_{2}+12x_{3}=50. \end{cases}
Linha 1: |a_{11}|=6\] e \(\sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+1=2. Tem 6>2.
Linha 2: |a_{22}|=9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=6+1=7. Tem 9>7.
Linha 3: |a_{33}|=12 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=3+1=4. Tem 12>4.
Portanto A_{\text{perm}} é estritamente diagonalmente dominante por linhas.]
Passo 5
Conclusão de convergência: como existe uma permutação de linhas que torna a matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema (a permutação não altera a solução). Assim posso aplicar Gauss–Seidel com segurança usando a ordem de equações permutada mostrada no Passo 4.
Passo 6
Escrevo as fórmulas de atualização (a partir do sistema permutado), isolando cada x_i:
da primeira equação
Estas são as fórmulas que uso na iteração de Gauss–Seidel: em cada iteração k calculo x_1^{(k)} usando os x_2,x_3 mais recentes (alguns ainda da iteração anterior) conforme a regra do método.
Critério de parada (erro relativo percentual): para cada componente defino o erro relativo aproximado
O erro relativo percentual máximo é aproximadamente 0{,}0771\%<5\%. Portanto a condição de parada foi satisfeita na iteração 4.
Passo 11
Interpretação final e incentivo rápido: chegamos à solução aproximada em poucas iterações porque reordenamos as equações e tal reordenação tornou a matriz estritamente diagonalmente dominante, garantindo convergência do Gauss–Seidel. Você fez um ótimo trabalho acompanhando as contas — com prática esse procedimento vira rotina.
Resposta
Sim — após permutar as equações na ordem (2,3,1) a matriz fica estritamente diagonalmente dominante por linhas, portanto Gauss–Seidel gera sequência convergente. \displaystyle x_{1}\approx1{,}696788673,\;x_{2}\approx2{,}829355949,\;x_{3}\approx4{,}355084173 (obtido em 4 iterações, com erro relativo percentual máximo <5\%).