(1) Em cada um dos sistemas abaixo
  • Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
  • Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
\left\{\begin{array}{l}-3 x_{1}+x_{2}+12 x_{3}=50 \\\ 6 x_{1}-x_{2}-x_{3}=3 \\\ 6 x_{1}+9 x_{2}+x_{3}=40\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema
\begin{cases} -3x_{1}+x_{2}+12x_{3}=50,\\[4pt] 6x_{1}-x_{2}-x_{3}=3,\\[4pt] 6x_{1}+9x_{2}+x_{3}=40 \end{cases}
  1. Verificar se o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema.
  2. Se sim, aplicar Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual seja menor que \varepsilon_{s}=5\%.
    Informações dadas: a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes (já acima). Não foi dado chute inicial, então usarei o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0). A resolução começa a seguir.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática)?
  • É um método iterativo para resolver sistemas lineares A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • Em cada iteração, atualizamos cada componente x_i usando a fórmula isolada da equação i, sempre usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração (por isso é mais rápido que Jacobi em muitos casos).
  • Se escrevemos A=(a_{ij}) e isolamos x_i na i-ésima equação, a fórmula geral de Gauss–Seidel é
x_i^{(k)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k-1)}\Bigr).
Aqui x_j^{(k)} já é o valor atualizado quando j<i, e x_j^{(k-1)} é o valor da iteração anterior quando j>i.
Critério clássico suficiente de convergência (que vou usar): se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para todo i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então Gauss–Seidel gera uma sequência que converge para a solução do sistema. Esse critério é suficiente (não necessário), então se não for satisfeito podemos tentar permutar as linhas para alcançar domínio diagonal estrito — permutar linhas não altera a solução do sistema, apenas troca a ordem das equações.

Passo 3

Verificação de dominância diagonal na ordem dada (não resolver ainda): a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 12\\[4pt]6 & -1 & -1\\[4pt]6 & 9 & 1\end{pmatrix}.
Calculo das somas das demais entradas em cada linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=3 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|12|=13. Como 3\not>13, não é estritamente dominante na linha 1.
  • Linha 2: |a_{22}|=1 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=6+1=7. Não dominante.
  • Linha 3: |a_{33}|=1 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=6+9=15. Não dominante.
    Conclusão: na ordem dada a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante, então não podemos afirmar diretamente a convergência por esse critério.]

Passo 4

Tentativa de permutar equações para obter dominância diagonal: vou testar uma permutação de linhas porque isso não muda a solução e pode permitir obter dominância diagonal. Colocando a segunda equação como primeira, a terceira como segunda e a primeira como terceira (permutação de linhas na ordem \{2,3,1\}\)), o sistema fica \[\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}-x_{3}=3,\\[4pt] 6x_{1}+9x_{2}+x_{3}=40,\\[4pt] -3x_{1}+x_{2}+12x_{3}=50. \end{cases}
A matriz correspondente é
A_{\text{perm}}=\begin{pmatrix}6 & -1 & -1\\[4pt]6 & 9 & 1\\[4pt]-3 & 1 & 12\end{pmatrix}.
Verifico dominância por linhas nesta ordem:
  • Linha 1: |a_{11}|=6\] e \(\sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+1=2. Tem 6>2.
  • Linha 2: |a_{22}|=9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=6+1=7. Tem 9>7.
  • Linha 3: |a_{33}|=12 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=3+1=4. Tem 12>4.
    Portanto A_{\text{perm}} é estritamente diagonalmente dominante por linhas.]

Passo 5

Conclusão de convergência: como existe uma permutação de linhas que torna a matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para este sistema (a permutação não altera a solução). Assim posso aplicar Gauss–Seidel com segurança usando a ordem de equações permutada mostrada no Passo 4.

Passo 6

Escrevo as fórmulas de atualização (a partir do sistema permutado), isolando cada x_i:
da primeira equação
6x_{1}-x_{2}-x_{3}=3\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{3+x_{2}+x_{3}}{6},
da segunda
6x_{1}+9x_{2}+x_{3}=40\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{40-6x_{1}-x_{3}}{9},
da terceira
-3x_{1}+x_{2}+12x_{3}=50\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{50+3x_{1}-x_{2}}{12}.
Estas são as fórmulas que uso na iteração de Gauss–Seidel: em cada iteração k calculo x_1^{(k)} usando os x_2,x_3 mais recentes (alguns ainda da iteração anterior) conforme a regra do método.
Critério de parada (erro relativo percentual): para cada componente defino o erro relativo aproximado
\varepsilon_{a,i}^{(k)}=\left|\frac{x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}}{x_i^{(k)}}\right|\times 100\%.
Adoto como critério de parada que o erro relativo percentual máximo entre as componentes fique abaixo de \varepsilon_s=5\%:
\max_i \varepsilon_{a,i}^{(k)}<5\%.
Começo com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).

Passo 7

Iteração 1 (k=1), usando \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0):
x_1^{(1)}=\frac{3+0+0}{6}=\frac{1}{2}=0,5.
x_2^{(1)}=\frac{40-6(0,5)-0}{9}=\frac{40-3}{9}=\frac{37}{9}\approx 4,111111111.
x_3^{(1)}=\frac{50+3(0,5)-\frac{37}{9}}{12}=\frac{50+1{,}5-\frac{37}{9}}{12}=\frac{853}{216}\approx 3,949074074.
Logo
\mathbf{x}^{(1)}\approx(0{,}5,\;4{,}111111111,\;3{,}949074074).

Passo 8

Iteração 2 (k=2): uso os x_1^{(2)} atualizado, etc.
x_1^{(2)}=\frac{3+x_2^{(1)}+x_3^{(1)}}{6} =\frac{3+4{,}111111111+3{,}949074074}{6}\approx 1{,}843364198.
x_2^{(2)}=\frac{40-6x_1^{(2)}-x_3^{(1)}}{9} =\frac{40-6(1{,}843364198)-3{,}949074074}{9}\approx 2{,}776771193.
x_3^{(2)}=\frac{50+3x_1^{(2)}-x_2^{(2)}}{12} =\frac{50+3(1{,}843364198)-2{,}776771193}{12}\approx 4{,}396110117.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}\approx(1{,}843364198,\;2{,}776771193,\;4{,}396110117).
Calculo dos erros relativos percentuais aproximados entre iterações 2 e 1:
\varepsilon_{a,1}^{(2)}=\left|\frac{1{,}843364198-0{,}5}{1{,}843364198}\right|\times100\%\approx72{,}88\% ,
\varepsilon_{a,2}^{(2)}=\left|\frac{2{,}776771193-4{,}111111111}{2{,}776771193}\right|\times100\%\approx48{,}05\% ,
\varepsilon_{a,3}^{(2)}=\left|\frac{4{,}396110117-3{,}949074074}{4{,}396110117}\right|\times100\%\approx10{,}16\%.
O erro máximo é cerca de 72{,}88\%, ainda acima de 5\%. Continuamos.

Passo 9

Iteração 3 (k=3):
x_1^{(3)}=\frac{3+x_2^{(2)}+x_3^{(2)}}{6} =\frac{3+2{,}776771193+4{,}396110117}{6}\approx 1{,}695480218.
x_2^{(3)}=\frac{40-6x_1^{(3)}-x_3^{(2)}}{9} =\frac{40-6(1{,}695480218)-4{,}396110117}{9}\approx 2{,}825667619.
x_3^{(3)}=\frac{50+3x_1^{(3)}-x_2^{(3)}}{12} =\frac{50+3(1{,}695480218)-2{,}825667619}{12}\approx 4{,}355064420.
Logo
\mathbf{x}^{(3)}\approx(1{,}695480218,\;2{,}825667619,\;4{,}355064420).
Erros relativos aproximados entre iterações 3 e 2:
\varepsilon_{a,1}^{(3)}\approx\left|\frac{1{,}695480218-1{,}843364198}{1{,}695480218}\right|\times100\%\approx8{,}726\% ,
\varepsilon_{a,2}^{(3)}\approx1{,}731\% ,
\varepsilon_{a,3}^{(3)}\approx0{,}942\%.
O erro máximo é aproximadamente 8{,}726\%, ainda acima de 5\%. Continuamos.

Passo 10

Iteração 4 (k=4):
x_1^{(4)}=\frac{3+x_2^{(3)}+x_3^{(3)}}{6} =\frac{3+2{,}825667619+4{,}355064420}{6}\approx 1{,}696788673.
x_2^{(4)}=\frac{40-6x_1^{(4)}-x_3^{(3)}}{9} =\frac{40-6(1{,}696788673)-4{,}355064420}{9}\approx 2{,}829355949.
x_3^{(4)}=\frac{50+3x_1^{(4)}-x_2^{(4)}}{12} =\frac{50+3(1{,}696788673)-2{,}829355949}{12}\approx 4{,}355084173.
Logo
\mathbf{x}^{(4)}\approx(1{,}696788673,\;2{,}829355949,\;4{,}355084173).
Erros relativos entre iterações 4 e 3:
\varepsilon_{a,1}^{(4)}\approx\left|\frac{1{,}696788673-1{,}695480218}{1{,}696788673}\right|\times100\%\approx0{,}0771\% ,
\varepsilon_{a,2}^{(4)}\approx0{,}1303\% ,
\varepsilon_{a,3}^{(4)}\approx0{,}00045\%.
O erro relativo percentual máximo é aproximadamente 0{,}0771\%<5\%. Portanto a condição de parada foi satisfeita na iteração 4.

Passo 11

Interpretação final e incentivo rápido: chegamos à solução aproximada em poucas iterações porque reordenamos as equações e tal reordenação tornou a matriz estritamente diagonalmente dominante, garantindo convergência do Gauss–Seidel. Você fez um ótimo trabalho acompanhando as contas — com prática esse procedimento vira rotina.

Resposta

Sim — após permutar as equações na ordem (2,3,1) a matriz fica estritamente diagonalmente dominante por linhas, portanto Gauss–Seidel gera sequência convergente.
\displaystyle x_{1}\approx1{,}696788673,\;x_{2}\approx2{,}829355949,\;x_{3}\approx4{,}355084173 (obtido em 4 iterações, com erro relativo percentual máximo <5\%).

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