- Uma calculadora simples (uma “calculadora de padaria”, que realiza apenas soma, subtração e multiplicação) possui um defeito na tecla de divisão.
Considerando isso, é possível, usando apenas essa calculadora, resolver a equação
Justifique sua resposta com base nos métodos numéricos estudados, discutindo se a operação de inversão pode ser realizada apenas com somas, subtrações e multiplicações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando apenas uma calculadora que faz soma, subtração e multiplicação (a tecla de divisão está quebrada). As perguntas implícitas são:
- É possível obter
sem usar a operação de divisão? - Se sim, apresentar um método numérico que use apenas soma, subtração e multiplicação e mostrar como aplicá-lo na prática.
Informações dadas:
- O número do lado direito é
. - A calculadora permite apenas as operações
, e .
Passo 2
Ideia geral e escolha do método (sem ainda calcular): queremos encontrar
tal que
o que é equivalente a
Há várias formas de obter um recíproco sem fazer divisão direta: séries (série geométrica), divisão por subtrações repetidas (algoritmo longo), ou métodos iterativos (por exemplo Newton). Vou usar o método de Newton para a função cuja raiz é o recíproco, porque:
- leva a uma iteração simples que usa apenas multiplicações, somas e subtrações;
- converge muito rápido (convergência quadrática), ou seja, em poucas iterações obtemos alta precisão — isso é bom quando temos pouco tempo na prova;
- é fácil de implementar manualmente com uma “calculadora de padaria”.
Também mencionarei a alternativa da série geométrica, que também usa só soma e multiplicação, mas geralmente converge mais devagar aqui.
Passo 3
Derivar a iteração de Newton passo a passo (explicando tudo):
Defina e procure
tal que
. Seja a função
Defina
Aplicando o método de Newton para resolver
, a fórmula geral é
Calcule a derivada:
Substituindo
e
na fórmula de Newton:
Simplificando (fatorando
):
Ou, em forma de fatoração útil:
Observações importantes sobre esta iteração:
- Cada atualização usa apenas multiplicações e subtrações (e uma soma): calcular
e depois e, por fim, multiplicar por . Portanto, ela é executável com a calculadora disponível. - O ponto fixo
satisfaz , o que implica , ou seja — correta. - O método de Newton tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima, isto é, o número de casas corretas dobra a cada iteração aproximadamente.
Passo 4
Aplicação prática com contas manuais (passo a passo para fazer na prova):
Colocar . Escolher uma aproximação inicial simples; por exemplo
(uma escolha natural porque
;
é fácil de calcular e já é um chute razoável).
Colocar
Primeira iteração:
Calcule
:
Calcule
:
Agora calcule
:
Segunda iteração:
Calcule
. Faça por partes:
e
(pode calcular como
e
; soma
). Portanto
Calcule
:
Agora
Para multiplicar, faça
. Note
(multiplicando com cuidado ou com algumas casas a mais). Assim
Terceira iteração (opcional, para ver a convergência rápida):
Calcule
(multiplicando como antes). Então
e
Note que
em forma exata racional é
. O valor numérico exato até algumas casas é
. Em três iterações obtivemos já precisão na 6. casa decimal — isto ilustra a convergência quadrática do método.
Passo 5
Alternativa com série geométrica (explicação didática rápida):
Como , pode-se usar a série geométrica para escrever
Como
que converge porque
. Essa soma infinita só usa multiplicação e adição: calcular
. Porém a série converge linearmente e é mais lenta que Newton: para obter alta precisão são necessárias bem mais parcelas. Por isso, para uma prova ou cálculo rápido, a iteração de Newton é mais eficiente.
Passo 6
Resumo e instruções práticas para a prova (o que fazer com a calculadora de padaria):
- Use a iteração
começando por um palpite simples
(por exemplo
ou
).
- Cada passo usa apenas multiplicações, subtrações e multiplicações por constantes — operações permitidas.
- Em poucas iterações (2–3) obtém-se precisão suficiente para a maioria das provas.
Resposta
Sim.