1. Uma calculadora simples (uma “calculadora de padaria”, que realiza apenas soma, subtração e multiplicação) possui um defeito na tecla de divisão.
Considerando isso, é possível, usando apenas essa calculadora, resolver a equação
\frac{1}{x}=1.37 ?
Justifique sua resposta com base nos métodos numéricos estudados, discutindo se a operação de inversão pode ser realizada apenas com somas, subtrações e multiplicações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{1}{x}=1{,}37
usando apenas uma calculadora que faz soma, subtração e multiplicação (a tecla de divisão está quebrada). As perguntas implícitas são:
  • É possível obter x sem usar a operação de divisão?
  • Se sim, apresentar um método numérico que use apenas soma, subtração e multiplicação e mostrar como aplicá-lo na prática.
Informações dadas:
  • O número do lado direito é 1{,}37.
  • A calculadora permite apenas as operações +, - e \times.

Passo 2

Ideia geral e escolha do método (sem ainda calcular): queremos encontrar x tal que
\frac{1}{x}=1{,}37,
o que é equivalente a
x=\frac{1}{1{,}37}.
Há várias formas de obter um recíproco sem fazer divisão direta: séries (série geométrica), divisão por subtrações repetidas (algoritmo longo), ou métodos iterativos (por exemplo Newton). Vou usar o método de Newton para a função cuja raiz é o recíproco, porque:
  • leva a uma iteração simples que usa apenas multiplicações, somas e subtrações;
  • converge muito rápido (convergência quadrática), ou seja, em poucas iterações obtemos alta precisão — isso é bom quando temos pouco tempo na prova;
  • é fácil de implementar manualmente com uma “calculadora de padaria”.
Também mencionarei a alternativa da série geométrica, que também usa só soma e multiplicação, mas geralmente converge mais devagar aqui.

Passo 3

Derivar a iteração de Newton passo a passo (explicando tudo):
Defina A=1{,}37 e procure x tal que \dfrac{1}{x}-A=0. Seja a função
f(x)=\frac{1}{x}-A.
Aplicando o método de Newton para resolver f(x)=0, a fórmula geral é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Calcule a derivada:
f'(x)=-\frac{1}{x^2}.
Substituindo f e f' na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{\frac{1}{x_n}-A}{-\frac{1}{x_n^2}} = x_n + \Big(\frac{1}{x_n}-A\Big)\,x_n^2.
Simplificando (fatorando x_n):
x_{n+1}=x_n + x_n - A x_n^2 = 2x_n - A x_n^2.
Ou, em forma de fatoração útil:
x_{n+1}=x_n\,(2 - A x_n).
Observações importantes sobre esta iteração:
  • Cada atualização usa apenas multiplicações e subtrações (e uma soma): calcular A x_n e depois 2 - A x_n e, por fim, multiplicar por x_n. Portanto, ela é executável com a calculadora disponível.
  • O ponto fixo x^\ast satisfaz x^\ast = x^\ast(2 - A x^\ast), o que implica A x^\ast = 1, ou seja x^\ast = 1/A — correta.
  • O método de Newton tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima, isto é, o número de casas corretas dobra a cada iteração aproximadamente.

Passo 4

Aplicação prática com contas manuais (passo a passo para fazer na prova):
Colocar A=1{,}37. Escolher uma aproximação inicial simples; por exemplo x_0=0{,}7 (uma escolha natural porque 1/1{,}4\approx0{,}714; 0{,}7 é fácil de calcular e já é um chute razoável).
Primeira iteração:
x_0=0{,}7.
Calcule A x_0:
A x_0 = 1{,}37\times 0{,}7 = 0{,}959.
Calcule 2 - A x_0:
2 - 0{,}959 = 1{,}041.
Agora calcule x_1:
x_1 = x_0\,(2 - A x_0) = 0{,}7\times 1{,}041 = 0{,}7287.
Segunda iteração:
x_1=0{,}7287.
Calcule A x_1. Faça por partes: 1\times0{,}7287=0{,}7287 e 0{,}37\times0{,}7287=0{,}269619 (pode calcular como 0{,}7287\times0{,}3=0{,}21861 e \times0{,}07=0{,}051009; soma 0{,}269619). Portanto
A x_1 = 0{,}7287 + 0{,}269619 = 0{,}998319.
Calcule 2 - A x_1:
2 - 0{,}998319 = 1{,}001681.
Agora
x_2 = x_1\,(2 - A x_1) = 0{,}7287 \times 1{,}001681.
Para multiplicar, faça 0{,}7287 + 0{,}7287\times0{,}001681. Note 0{,}7287\times0{,}001681\approx 0{,}0012249447 (multiplicando com cuidado ou com algumas casas a mais). Assim
x_2 \approx 0{,}7287 + 0{,}0012249447 = 0{,}7299249447 \approx 0{,}729925.
Terceira iteração (opcional, para ver a convergência rápida):
x_2\approx 0{,}7299249447.
Calcule A x_2\approx 1{,}37\times0{,}7299249447 \approx 0{,}999997174 (multiplicando como antes). Então 2 - A x_2 \approx 1{,}000002826 e
x_3 = x_2(2-Ax_2)\approx 0{,}7299249447 \times 1{,}000002826 \approx 0{,}729927007\ldots
Note que 1/1{,}37 em forma exata racional é \dfrac{100}{137}. O valor numérico exato até algumas casas é \dfrac{100}{137}\approx 0{,}7299270073. Em três iterações obtivemos já precisão na 6. casa decimal — isto ilustra a convergência quadrática do método.

Passo 5

Alternativa com série geométrica (explicação didática rápida):
Como 1{,}37=1+0{,}37, pode-se usar a série geométrica para escrever
\frac{1}{1{,}37}=\frac{1}{1+0{,}37}=\sum_{k=0}^{\infty}(-0{,}37)^k,
que converge porque |-0{,}37|<1. Essa soma infinita só usa multiplicação e adição: calcular 1 - 0{,}37 + 0{,}37^2 - 0{,}37^3 + \cdots. Porém a série converge linearmente e é mais lenta que Newton: para obter alta precisão são necessárias bem mais parcelas. Por isso, para uma prova ou cálculo rápido, a iteração de Newton é mais eficiente.

Passo 6

Resumo e instruções práticas para a prova (o que fazer com a calculadora de padaria):
  • Use a iteração
x_{n+1}=x_n(2 - A x_n),\quad A=1{,}37,
começando por um palpite simples x_0 (por exemplo 0{,}7 ou 0{,}8).
  • Cada passo usa apenas multiplicações, subtrações e multiplicações por constantes — operações permitidas.
  • Em poucas iterações (2–3) obtém-se precisão suficiente para a maioria das provas.

Resposta

Sim. x=\dfrac{1}{1{,}37}=\dfrac{100}{137}\approx 0{,}729927007

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