Calculando a integral I=integral0^8 x^4 d x diretamente e encontrando uma aproximação para esta integral utilizando a regra dos trapézios com 8 divisões do intervalo[ 0,8 ],qual é o valor do inteiro mais próximo do valor exato do erro?
Resposta: square

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular direitinho a integral
I = integral0^8 x^4 ,dx
e, em seguida, aproximar essa mesma integral usando a regra dos trapézios com 8 subdivisões no intervalo .
Conteúdo envolvido:
  • Cálculo de integrais de polinômios (usando a fórmula ).
  • Regra dos trapézios para aproximação numérica (fórmula do trapézio e como calcular , nós, somas).
  • Cálculo do erro como diferença entre valor aproximado e valor exato.
Para resolver, vamos precisar:
  1. Calcular a antiderivada de .
  2. Usar a fórmula da regra dos trapézios com .
  3. Subtrair para achar o erro e arredondar ao inteiro mais próximo.

Passo 2

Calcular o valor exato da integral
Usamos
integral x^4,dx = x^55 + C
Então
I = integral0^8 x^4,dx = l[x^55r]0^8 = 8^55 - 0^55 = 327685 = 6553,6

Passo 3

Definir a regra dos trapézios
Para h = b - an, Tn = h2l(f(x0) + 2sumi=1^n-1f(xi) + f(xn)r) subdivisões em h = 8 - 08 = 1, , temos
Aqui , , , logo
e os nós são , para .

Passo 4

Calcular sumi=1^7 i^4 =1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4+7^4 =4676
Precisamos de T8 = 12l(0 + 2cdot4676 + 4096r) = 12(9352 + 4096) = 134482 = 6724 . Note que , .
O somatório intermediário é
Logo

Passo 5

Calcular o erro e arredondar
Definimos o erro exato como
E = T8 - I = 6724 - 6553,6 = 170,4
O inteiro mais próximo de é 170.

Resposta

170

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