Considere o sistema de equações não lineares:
Desenvolva duas iterações do Método de Newton (usando o Jacobiano) para encontrar uma solução aproximada do sistema, partindo do ponto inicial
. Explique detalhadamente os cálculos e verifique, ao final de cada iteração, se o erro absoluto e o erro relativo são menores que 0.5 .
Passo 1
Beleza, o exercício pede para usar o Método de Newton em sistemas não lineares pra achar uma solução aproximada do sistema
partindo do chute inicial
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de
e do Jacobiano . -
Fórmula de Newton para sistemas:
[
-J{-1}\bigl(x{(k)},y{(k)}\bigr),F\bigl(x{(k)},y^{(k)}\bigr).
] - Como inverter a matriz
. - Definição de erro absoluto
e erro relativo em cada componente
,
A partir do próximo passo, vamos calcular de fato a 1ª e 2ª iterações e verificar os erros.
Passo 2
Definimos
Para
:
-
-
cujo determinante é .
Então - Produto
: -
Atualização:
[
-
==
\approx(1.6667,1.3333).
] - Erros após 1ª iteração:
Portanto, na 1ª iteração o erro absoluto ainda é maior que 0.5, mas os relativos já estão abaixo de 0.5.
Passo 3
Agora a 2ª iteração em
:
determinante
, logo
3. Produto
:
4. Atualização:
[
-
=
\approx(1.5242,1.3030).
]
- Erros após 2ª iteração:
Resposta
Após duas iterações de Newton, partindo de
, a solução aproximada do sistema é
com erro absoluto e erro relativo abaixo de 0.5 na segunda iteração.