Considere o sistema de equações não lineares:
l x^2+y^2=4 x^2-y=1
Desenvolva duas iterações do Método de Newton (usando o Jacobiano) para encontrar uma solução aproximada do sistema, partindo do ponto inicial x^(0)=(1,1). Explique detalhadamente os cálculos e verifique, ao final de cada iteração, se o erro absoluto e o erro relativo são menores que 0.5 .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para usar o Método de Newton em sistemas não lineares pra achar uma solução aproximada do sistema
x^2+y^2=4, x^2-y=1,
partindo do chute inicial x^(k+1)y^(k+1) = x^(k)y^(k) -J^-1l(x^(k),y^(k)r),Fl(x^(k),y^(k)r) .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Definição de e do Jacobiano .
  2. Fórmula de Newton para sistemas:
    [


    -J{-1}\bigl(x{(k)},y{(k)}\bigr),F\bigl(x{(k)},y^{(k)}\bigr).
    ]
  3. Como inverter a matriz .
  4. Definição de erro absoluto

    e erro relativo em cada componente
    ,
A partir do próximo passo, vamos calcular de fato a 1ª e 2ª iterações e verificar os erros.

Passo 2

Definimos
F(x,y)= x^2+y^2-4 x^2-y-1 , J(x,y)= 2x & 2y 2x & -1
Para 2&22&-1:
  1. J^-1(1,1)=1-6-1 & -2-2 & 2 =-tfrac16 & -tfrac26[3pt]-tfrac26 & tfrac26
  2. J^-1(1,1),(-2,-1)^T =1-6 -1&-2-2&2 -2-1 =-tfrac46-tfrac26 =-tfrac23-tfrac13 cujo determinante é x^(1)y^(1) = 11 --tfrac23-tfrac13 =1+tfrac231+tfrac13 =tfrac53[3pt]tfrac43 approx(1.6667,1.3333) .
    Então erm abs =maxl(|5/3-1|,|4/3-1|r) =maxl(tfrac23,tfrac13r) =0.6667>0.5,
  3. Produto erm rel^x=2/35/3=0.4, erm rel^y=1/34/3=0.25(ambos<0.5) :
  4. Atualização:
    [


    -
    = =
    \approx(1.6667,1.3333).
    ]
  5. Erros após 1ª iteração:
Portanto, na 1ª iteração o erro absoluto ainda é maior que 0.5, mas os relativos já estão abaixo de 0.5.

Passo 3

Agora a 2ª iteração em J(5/3,4/3) =2cdot5/3&2cdot4/32cdot5/3&-1 =10/3&8/310/3&-1, :
  1. J^-1(5/3,4/3) =-9110 -1 & -tfrac83[3pt] -tfrac103 & tfrac103

J^-1(5/3,4/3),1954 =tfrac47330[3pt]tfrac133 approx(0.1424,0.0303)
determinante x^(2)y^(2) = 5/34/3 -47/3301/33 =503/33043/33 approx(1.5242,1.3030) , logo
erm abs =maxl(tfrac47330,tfrac133r) approx0.1424<0.5,
3. Produto erm rel^x=0.14241.5242approx0.0935, erm rel^y=0.03031.3030approx0.0233 (todos<0.5) :

4. Atualização:
[


-
=
\approx(1.5242,1.3030).
]
  1. Erros após 2ª iteração:

Resposta

Após duas iterações de Newton, partindo de (x,y)approxl(1.52424,;1.30303r), , a solução aproximada do sistema é
com erro absoluto e erro relativo abaixo de 0.5 na segunda iteração.

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