Considere a matriz A=[llll4 & 0 & 0 & 0 0 & 5 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 2 0 & 0 & 2 & 7]
Mostre que A é positiva definida e calcule sua fatoração de Cholesky.

Passo 1

Beleza, temos a matriz
A= 4 & 0 & 0 & 0 0 & 5 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 2 0 & 0 & 2 & 7
Conteúdo da matéria:
  1. saber quando uma matriz simétrica é positiva definida (PD) – isso rola se todos os menores principais forem positivos;
  2. fatoração de Cholesky – escrever com triangular inferior.
    O que vamos precisar: calcular determinantes de submatrizes principais e achar as entradas de via as fórmulas padrão de Cholesky.

Passo 2

Definição prática de positiva definida: uma matriz simétrica 4&00&5 é PD se todos os seus menores principais (determinantes dos 4&0&00&5&20&2&6 blocos iniciais) são estritamente positivos.
– Menor 1×1: 5&22&6.
– Menor 2×2: .
– Menor 3×3:

– Menor 4×4: é . A gente pode usar o produto dos quadrados dos pivôs da Cholesky (mas já veremos que dá positivo) ou calcular direto que dá .
Logo todos são positivos, então é positiva definida.

Passo 3

Agora, para Cholesky, escrevemos
A = L,L^T, L= ell11&0&0&0 ell21&ell22&0&0 ell31&ell32&ell33&0 ell41&ell42&ell43&ell44
As fórmulas são
ellii = raiz,aii - sumk< iellik^2,, elli j = 1elljjl(aij - sumkj)
Vamos calcular de cima pra baixo:



Passo 4

Continuando na linha 4:



Resposta

A é positiva definida (todos os menores principais >0) e sua fatoração de Cholesky é
L= 2 & 0 & 0 & 0 0 & raiz5 & 0 & 0 0 & tfrac2raiz5 & raiztfrac265 & 0 0 & 0 & tfracraiz13013 & tfrac9raiz1313 , A = L,L^T

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