Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função f(x)=x^{4}+2 x^{2}-x-3 é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
(d) g_{4}(x)=\frac{3 x^{4}+2 x^{2}+3}{4 x^{3}+4 x-1}

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^{4}+2x^{2}-x-3
e
g_{4}(x)=\frac{3x^{4}+2x^{2}+3}{4x^{3}+4x-1}
e pede para mostrar que resolver f(x)=0 é equivalente a achar ponto fixo de g_{4}, isto é, solução de
x = g_{4}(x).

Passo 2

Começamos impondo a condição de ponto fixo:
x = \frac{3x^{4}+2x^{2}+3}{4x^{3}+4x-1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (4x^{3}+4x-1) para eliminar o denominador:
x\,(4x^{3}+4x-1) = 3x^{4}+2x^{2}+3.

Passo 4

Expandindo o lado esquerdo e recolhendo todos os termos:
4x^{4}+4x^{2}-x = 3x^{4}+2x^{2}+3 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{4}+4x^{2}-x - (3x^{4}+2x^{2}+3)=0
\Longrightarrow\quad x^{4}+2x^{2}-x-3=0,
que é exatamente f(x)=0.

Resposta

A condição x=g_{4}(x) leva a f(x)=0, logo cada raiz de f é ponto fixo de g_{4}, e vice-versa.

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