Calcular \frac{50+9 j}{5-8 j}=a+j b.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número complexo \tfrac{50 + 9j}{5 - 8j} e escrevê-lo na forma a + jb. O conteúdo é divisão de números complexos, que exige racionalização do denominador usando o conjugado.

Passo 2

Para eliminar o j do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 5 - 8j, que é 5 + 8j:
\frac{50 + 9j}{5 - 8j} = \frac{(50 + 9j)\,(5 + 8j)}{(5 - 8j)\,(5 + 8j)}.

Passo 3

Calculamos o denominador usando (a - b)(a + b)=a^2 - b^2, com a=5 e b=8j:
(5 - 8j)(5 + 8j) = 5^2 - (8j)^2 = 25 - 64\,j^2 = 25 - 64(-1) = 25 + 64 = 89.

Passo 4

Expandimos o numerador por distributiva:
(50 + 9j)(5 + 8j) = 50\cdot 5 + 50\cdot 8j + 9j\cdot 5 + 9j\cdot 8j = 250 + 400j + 45j + 72\,j^2.
Como j^2 = -1, isso vira
250 + 445j + 72(-1) = (250 - 72) + 445j = 178 + 445j.

Passo 5

Agora dividimos cada parte por 89:
\frac{178 + 445j}{89} = \frac{178}{89} + j\,\frac{445}{89} = 2 + 5j.

Resposta

2 + 5j

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