Determine a raiz e faça o vetor que representa essa raiz:
x^{2}-5 x+7=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
x^{2}-5x+7=0
e em seguida representar uma das raízes como vetor no plano complexo. Aqui vamos usar a fórmula de Bhaskara para obter as raízes e depois associar a forma x+iy ao vetor (x,y).

Passo 2

Calcule o discriminante \Delta da equação ax^2+bx+c=0, onde a=1, b=-5, c=7:
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot7 = 25 - 28 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

Aplique a fórmula de Bhaskara
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
substituindo \sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}:
x = \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2}.
Vamos escolher a raiz com o sinal +:
\alpha = \frac{5}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Para representar \alpha = x + i y como vetor no plano, basta usar as coordenadas (x,y). Aqui
x = \frac{5}{2},\quad y = \frac{\sqrt{3}}{2},
então o vetor que representa \alpha é
\mathbf{v} = \Bigl(\frac{5}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Resposta

A raiz escolhida é
\alpha = \frac{5}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2},
e o vetor correspondente no plano complexo é
\mathbf{v} = \Bigl(\frac{5}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

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