Ao calcular
pela regra dos
de Simpson composta com erro de integração menor que
, o número mínimo de subintervalos é 25 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo integral onde precisamos calcular a integral de
de 0 a
usando a Regra dos 3/8 de Simpson. Nosso objetivo é garantir que o erro da integração seja menor que
. Para isso, vamos precisar entender como essa regra funciona e como calcular o número mínimo de subintervalos necessários para atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos 3/8 de Simpson. Essa é uma técnica numérica para aproximar integrais definidas. Ela divide o intervalo de integração em subintervalos iguais e usa um polinômio cúbico para estimar a área sob a curva. A fórmula geral para a regra dos 3/8 é:
onde $ h = \frac{b - a}{n} $ e $ n $ é o número de subintervalos (deve ser múltiplo de 3).
Passo 3
Para garantir que o erro da aproximação seja menor que
, precisamos usar uma fórmula que nos dá uma estimativa do erro na Regra dos 3/8 de Simpson. A fórmula do erro é:
Aqui, $ K $ é um limite superior para a quarta derivada da função $ f(x) $ no intervalo
.
Passo 4
No nosso caso, a função é $ f(x) = \sin(x) $. Vamos encontrar a quarta derivada de $ f(x) $:
Então, $ f’’’’(x) = \sin(x) $. Sabemos que $ |\sin(x)| \leq 1 $ para todo $ x $, então podemos dizer que $ K = 1 $.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Nosso objetivo é resolver para $ n $.
Passo 6
Primeiro, isolamos $ n^4 $:
Calculando os valores numéricos:
Então:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quarta de ambos os lados para encontrar $ n $:
Resposta
Portanto, o número mínimo de subintervalos necessário para garantir que o erro da integração seja menor que
é 25.