Ao calcular integral0^pi sen(x) d x pela regra dos 3 / 8 de Simpson composta com erro de integração menor que 10^-5, o número mínimo de subintervalos é 25 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo integral onde precisamos calcular a integral de sin(x) de 0 a pi usando a Regra dos 3/8 de Simpson. Nosso objetivo é garantir que o erro da integração seja menor que 10^-5. Para isso, vamos precisar entender como essa regra funciona e como calcular o número mínimo de subintervalos necessários para atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos 3/8 de Simpson. Essa é uma técnica numérica para aproximar integrais definidas. Ela divide o intervalo de integração em subintervalos iguais e usa um polinômio cúbico para estimar a área sob a curva. A fórmula geral para a regra dos 3/8 é:
integrala^b f(x) dx approx 3h8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + dots + f(xn) ]
onde $ h = \frac{b - a}{n} $ e $ n $ é o número de subintervalos (deve ser múltiplo de 3).

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que 10^-5, precisamos usar uma fórmula que nos dá uma estimativa do erro na Regra dos 3/8 de Simpson. A fórmula do erro é:
E <= K(b - a)^580n^4
Aqui, $ K $ é um limite superior para a quarta derivada da função $ f(x) $ no intervalo K .

Passo 4

No nosso caso, a função é $ f(x) = \sin(x) $. Vamos encontrar a quarta derivada de $ f(x) $:
f(x) = sin(x)
Então, $ f’’’’(x) = \sin(x) $. Sabemos que $ |\sin(x)| \leq 1 $ para todo $ x $, então podemos dizer que $ K = 1 $.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
10^-5 >= 1 cdot (pi - 0)^580n^4 10^-5 >= pi^580n^4
Nosso objetivo é resolver para $ n $.

Passo 6

Primeiro, isolamos $ n^4 $:
n^4
Calculando os valores numéricos:
n^4 >= pi^580 cdot 10^-5 n^4 >= pi^50.0008
Então:
pi approx 3.1416 pi^5 approx 306.0197 306.01970.0008 approx 382524.625

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quarta de ambos os lados para encontrar $ n $:
n

Resposta

Portanto, o número mínimo de subintervalos necessário para garantir que o erro da integração seja menor que 10^-5 é 25.

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