No cálculo de um zero xi in[a, b] de uma função f(x) real e contínua no intervalo [a, b], em qualquer iteração do método da bisseção a aproximação de xi é melhor que aquela obtida na iteração anterior.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o método da bisseção, que é uma técnica usada para encontrar zeros de funções contínuas em um intervalo específico [a, b]. O que a questão está dizendo é que, a cada vez que a gente usa esse método, a nossa aproximação para o zero xi da função f(x) fica melhor do que antes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e por que ele garante que estamos sempre nos aproximando do zero da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes (ou zeros) de funções contínuas. A ideia básica é dividir o intervalo [a, b] em duas partes iguais e ver em qual desses subintervalos a função muda de sinal, o que indica que tem um zero ali devido ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Na prática, a gente começa com um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos, ou seja, f(a) cdot f(b) < 0. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos um zero xi entre a e b.

Passo 4

A cada iteração do método da bisseção, a gente calcula o ponto médio c do intervalo atual:
c = a + b2
Então, avaliamos f(c):
- Se f(c) = 0, então encontramos o zero xi = c.
- Se f(c) tem o mesmo sinal de f(a), então o novo intervalo passa a ser [c, b].
- Se f(c) tem o mesmo sinal de f(b), então o novo intervalo passa a ser [a, c].

Passo 5

Importante notar que, a cada iteração, o intervalo onde estamos procurando o zero xi é reduzido pela metade. Isso significa que a distância entre as extremidades do intervalo está diminuindo, o que nos dá uma aproximação melhor do zero a cada passo.

Passo 6

Essa redução contínua do intervalo garante que estamos nos aproximando cada vez mais do verdadeiro zero xi. Como o intervalo está ficando menor e nosso ponto médio está se aproximando do zero, a precisão da nossa aproximação melhora a cada iteração.

Resposta

Portanto, no método da bisseção, em cada iteração a aproximação do zero xi se torna melhor que a anterior, já que o intervalo de busca é continuamente reduzido, aproximando-se cada vez mais do ponto onde f(x) = 0.

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