No cálculo de um zero
de uma função
real e contínua no intervalo
, em qualquer iteração do método da bisseção a aproximação de
é melhor que aquela obtida na iteração anterior.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o método da bisseção, que é uma técnica usada para encontrar zeros de funções contínuas em um intervalo específico
. O que a questão está dizendo é que, a cada vez que a gente usa esse método, a nossa aproximação para o zero
da função
fica melhor do que antes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e por que ele garante que estamos sempre nos aproximando do zero da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes (ou zeros) de funções contínuas. A ideia básica é dividir o intervalo
em duas partes iguais e ver em qual desses subintervalos a função muda de sinal, o que indica que tem um zero ali devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Na prática, a gente começa com um intervalo
onde
e
têm sinais opostos, ou seja,
. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos um zero
entre
e
.
Passo 4
A cada iteração do método da bisseção, a gente calcula o ponto médio
do intervalo atual:
Então, avaliamos
- Se
- Se
- Se
Passo 5
Importante notar que, a cada iteração, o intervalo onde estamos procurando o zero
é reduzido pela metade. Isso significa que a distância entre as extremidades do intervalo está diminuindo, o que nos dá uma aproximação melhor do zero a cada passo.
Passo 6
Essa redução contínua do intervalo garante que estamos nos aproximando cada vez mais do verdadeiro zero
. Como o intervalo está ficando menor e nosso ponto médio está se aproximando do zero, a precisão da nossa aproximação melhora a cada iteração.
Resposta
Portanto, no método da bisseção, em cada iteração a aproximação do zero
se torna melhor que a anterior, já que o intervalo de busca é continuamente reduzido, aproximando-se cada vez mais do ponto onde
.