Sobre a regressão linear pelo método dos mínimos quadrados, o modelo
pode ter um coeficiente de determinação maior que do modelo
, usando os mesmos pontos.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. A questão pergunta se o coeficiente de determinação (R²) de um modelo linear $ y = b_{0} + b_{1}x $ pode ser maior que o de um modelo quadrático $ y = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} $ usando os mesmos pontos. Para isso, vamos precisar entender o que é regressão linear, o que representa o coeficiente de determinação e como ele se comporta em modelos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de determinação, conhecido como $ R^{2} $. Ele mede a proporção da variabilidade total dos dados que é explicada pelo modelo. Ou seja, quanto maior o $ R^{2} $, melhor o modelo explica os dados.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os modelos de regressão. O modelo linear $ y = b_{0} + b_{1}x $ tenta ajustar uma linha reta aos dados. Já o modelo quadrático $ y = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} $ ajusta uma parábola, que pode capturar curvas nos dados que uma linha reta não consegue.
Passo 4
De forma geral, adicionar mais termos ao modelo (como o $ x^{2} $ no modelo quadrático) permite que o modelo se ajuste melhor aos dados, aumentando ou mantendo o $ R^{2} $. Isso acontece porque o modelo mais complexo pode capturar mais variações nos dados.
Passo 5
No entanto, há casos especiais onde o modelo mais complexo não aumenta o $ R^{2} $. Se o termo adicional $ x^{2} $ não contribui para explicar a variabilidade dos dados, o $ R^{2} $ pode permanecer o mesmo. Mas ele não deve diminuir, já que $ R^{2} $ nunca diminui ao adicionar variáveis explicativas no modelo.
Passo 6
Portanto, considerando que o modelo quadrático tem pelo menos o mesmo $ R^{2} $ que o modelo linear, nunca será menor. O modelo linear pode ter o mesmo $ R^{2} $, mas não maior.
Resposta
Não, o coeficiente de determinação do modelo linear $ y = b_{0} + b_{1}x $ não pode ser maior que o do modelo quadrático $ y = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} $ usando os mesmos pontos. O modelo quadrático, pelo menos, iguala o $ R^{2} $ do modelo linear e geralmente o aumenta ao capturar mais variações nos dados.