Considere a decomposição A=L U sem pivotação parcial de uma matriz A de ordem n. Pode-se afirmar que os autovalores de A são u11, u22, ldots, un n.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre a decomposição A = LU de uma matriz A de ordem n, sem usar pivotação parcial. O assunto aqui é álgebra linear, mais especificamente a decomposição de matrizes. A questão quer saber se os autovalores de A são iguais aos elementos da diagonal da matriz U, ou seja, u11, u22, ldots, unn. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como funciona a decomposição LU.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é decomposição LU. É uma forma de escrever a matriz A como o produto de duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, e U, que é uma matriz triangular superior. Essa decomposição facilita resolver sistemas lineares, entre outras aplicações.

Passo 3

Agora, sobre autovalores: um autovalor de uma matriz A é um número lambda tal que existe um vetor não nulo v onde A v = lambda v. Os autovalores são importantes porque nos dizem informações sobre a matriz, como sua estabilidade e comportamento em transformações lineares.

Passo 4

Em matrizes triangulares, como a U da decomposição LU, é verdade que os autovalores são os elementos da diagonal principal. Ou seja, se temos uma matriz triangular superior, seus autovalores são exatamente os valores na diagonal. Isso acontece porque, para matrizes triangulares, o polinômio característico se simplifica e os autovalores aparecem diretamente na diagonal.

Passo 5

No entanto, na decomposição LU, a matriz A original não é necessariamente triangularizada. A matriz L pode ter valores diferentes de zero abaixo da diagonal, o que significa que os autovalores de A não são garantidamente os mesmos da matriz U. A presença da matriz L interfere nessa relação, a menos que L seja a matriz identidade, caso em que A já seria triangular e os autovalores coincidiriam com os da diagonal de U.

Resposta

Não, os autovalores de A nem sempre são iguais aos elementos u11, u22, ldots, unn da matriz U na decomposição LU sem pivotação.

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