Considere a decomposição
sem pivotação parcial de uma matriz
de ordem
. Pode-se afirmar que os autovalores de
são
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre a decomposição
de uma matriz
de ordem
, sem usar pivotação parcial. O assunto aqui é álgebra linear, mais especificamente a decomposição de matrizes. A questão quer saber se os autovalores de
são iguais aos elementos da diagonal da matriz
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como funciona a decomposição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é decomposição
. É uma forma de escrever a matriz
como o produto de duas matrizes:
, que é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, e
, que é uma matriz triangular superior. Essa decomposição facilita resolver sistemas lineares, entre outras aplicações.
Passo 3
Agora, sobre autovalores: um autovalor de uma matriz
é um número
tal que existe um vetor não nulo
onde
. Os autovalores são importantes porque nos dizem informações sobre a matriz, como sua estabilidade e comportamento em transformações lineares.
Passo 4
Em matrizes triangulares, como a
da decomposição
, é verdade que os autovalores são os elementos da diagonal principal. Ou seja, se temos uma matriz triangular superior, seus autovalores são exatamente os valores na diagonal. Isso acontece porque, para matrizes triangulares, o polinômio característico se simplifica e os autovalores aparecem diretamente na diagonal.
Passo 5
No entanto, na decomposição
, a matriz
original não é necessariamente triangularizada. A matriz
pode ter valores diferentes de zero abaixo da diagonal, o que significa que os autovalores de
não são garantidamente os mesmos da matriz
. A presença da matriz
interfere nessa relação, a menos que
seja a matriz identidade, caso em que
já seria triangular e os autovalores coincidiriam com os da diagonal de
.
Resposta
Não, os autovalores de
nem sempre são iguais aos elementos
da matriz
na decomposição
sem pivotação.