Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com \epsilon \leq 10^{-3}, usando o método da Secante:
f(x)=\operatorname{sen}(x)-\ln (x) Utilize x_{0}=2 e x_{1}=2.5.

Passo 1

O enunciado pede: calcular pelo menos uma raiz real da função \,f(x)=\sin(x)-\ln(x)\, usando o método da Secante, com tolerância \epsilon \le 10^{-3}. Foram dados os palpites iniciais \,x_{0}=2 e \,x_{1}=2{,}5.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função: \,f(x)=\sin(x)-\ln(x).
  • Método: método da Secante.
  • Palpites iniciais: \,x_{0}=2 e \,x_{1}=2{,}5.
  • Tolerância: \,\epsilon \le 10^{-3}.

Passo 2

O método da Secante aproxima a raiz construindo retas secantes entre os últimos dois pontos e usando a interseção com o eixo x como próxima aproximação. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
O que cada símbolo significa:
  • \,x_{n-1} e \,x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas.
  • \,f(x_{n-1}) e \,f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos.
  • \,x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
Critério de parada escolhido (comum e apropriado aqui): interromper quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor ou igual a \epsilon, isto é quando
|x_{n+1}-x_{n}|\le \epsilon.
(Isto garante que a aproximação não se altera além da precisão desejada.)
Vou aplicar a fórmula iterativamente a partir de \,x_{0}=2 e \,x_{1}=2{,}5 até que |x_{n+1}-x_{n}|\le 10^{-3}.

Passo 3

Calcular \,f(x_{0}) e \,f(x_{1}).
  • Para \,x_{0}=2:
f(2)=\sin(2)-\ln(2).
Valores conhecidos (aproximações):
\sin(2)\approx 0{,}9092974268 e \ln(2)\approx 0{,}6931471806.
Logo
f(2)\approx 0{,}9092974268-0{,}6931471806=0{,}2161502462.
  • Para \,x_{1}=2{,}5:
f(2{,}5)=\sin(2{,}5)-\ln(2{,}5).
Valores aproximados:
\sin(2{,}5)\approx 0{,}5984721441 e \ln(2{,}5)\approx 0{,}9162907319.
Logo
f(2{,}5)\approx 0{,}5984721441-0{,}9162907319=-0{,}3178185878.
Observação: f(2)>0 e f(2{,}5)<0, então há de fato uma raiz entre 2 e 2{,}5.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_{2} pela fórmula da Secante usando x_{0} e x_{1}.
A fórmula:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo os números:
x_{2}=2{,}5-(-0{,}3178185878)\cdot\frac{2{,}5-2}{-0{,}3178185878-0{,}2161502462}.
Calcule passo a passo:
x_{1}-x_{0}=0{,}5,
f(x_{1})-f(x_{0})=-0{,}3178185878-0{,}2161502462=-0{,}5339688340,
\frac{f(x_{1})(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}=\frac{-0{,}3178185878\cdot0{,}5}{-0{,}5339688340}\approx 0{,}2976003165.
Portanto
x_{2}\approx 2{,}5-0{,}2976003165=2{,}2023996835.
Agora calcular f(x_{2}):
Aproximações rápidas (linearizando levemente para economizar trabalhos): usei que
\ln(2{,}2023996835)\approx 0{,}789547 (estimativa usando derivada 1/x) e
\sin(2{,}2023996835)\approx 0{,}807084 (estimativa a partir de \sin(2{,}2) e \cos(2{,}2)).
Assim
f(2{,}2023996835)\approx 0{,}807084-0{,}789547\approx 0{,}017537.
Resumo da iteração:
x_{2}\approx 2{,}2023996835,\qquad f(x_{2})\approx 0{,}017537.
Diferença |x_{2}-x_{1}|=|2{,}2023996835-2{,}5|\approx 0{,}2976003165>\epsilon. Continuamos.

Passo 5

Segunda iteração: calcular x_{3} usando x_{1}=2{,}5 e x_{2}.
Fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
x_{3}=2{,}2023996835-0{,}017537\cdot\frac{2{,}2023996835-2{,}5}{0{,}017537-(-0{,}3178185878)}.
Calcule:
x_{2}-x_{1}= -0{,}2976003165,
f(x_{2})-f(x_{1})=0{,}017537+0{,}3178185878=0{,}3353555878,
\frac{f(x_{2})(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}\approx\frac{0{,}017537\cdot(-0{,}2976003165)}{0{,}3353555878}\approx -0{,}015553.
Logo
x_{3}\approx 2{,}2023996835-(-0{,}015553)=2{,}2179526835.
Calcular f(x_{3}) (aproximação):
Usando linearização em torno de 2{,}2, obtemos
\sin(2{,}2179527)\approx 0{,}797931,\qquad \ln(2{,}2179527)\approx 0{,}796543,
portanto
f(2{,}2179527)\approx 0{,}001388.
Resumo:
x_{3}\approx 2{,}2179527,\qquad f(x_{3})\approx 0{,}001388.
Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}015553>\epsilon. Continuamos.

Passo 6

Terceira iteração: calcular x_{4} usando x_{2} e x_{3}.
Fórmula:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo números:
x_{3}-x_{2}=0{,}0155530165,
f(x_{3})-f(x_{2})=0{,}001388-0{,}017537=-0{,}016149,
\frac{f(x_{3})(x_{3}-x_{2})}{f(x_{3})-f(x_{2})}\approx\frac{0{,}001388\cdot0{,}0155530165}{-0{,}016149}\approx -0{,}0013367.
Então
x_{4}\approx 2{,}2179527-(-0{,}0013367)=2{,}2192894.
Agora f(x_{4}) (aproximação com linearização do f em torno de x_{3}):
Calculando derivada f'(x)=\cos(x)-1/x em x_{3}\approx 2{,}21795 obtemos f'(x_{3})\approx -1{,}039. Como x_{4}-x_{3}\approx 0{,}0013367,
f(x_{4})\approx f(x_{3})+f'(x_{3})(x_{4}-x_{3})\approx 0{,}001388+(-1{,}039)\cdot0{,}0013367\approx -10^{-6}\\ \text{(aprox.)}.
Ou seja f(x_{4}) é muito próximo de zero (da ordem de 10^{-6}).
Diferença |x_{4}-x_{3}| \approx 0{,}0013367, ainda ligeiramente maior que \epsilon=10^{-3}. Ainda não podemos parar se aplicarmos estritamente o critério escolhido, então fazemos mais uma iteração.

Passo 7

Quarta iteração: calcular x_{5} usando x_{3} e x_{4}.
Fórmula:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Aqui f(x_{4}) é aproximadamente -1\times10^{-6} (valor muito pequeno), x_{4}-x_{3}\approx 0{,}0013367 e f(x_{4})-f(x_{3})\approx -1{,}389\times10^{-3}. Então a correção vale aproximadamente
\frac{f(x_{4})(x_{4}-x_{3})}{f(x_{4})-f(x_{3})}\approx\frac{(-10^{-6})\cdot0{,}0013367}{-0{,}001389}\approx 9{,}6\times10^{-7}.
Portanto
x_{5}\approx x_{4}-9{,}6\times10^{-7}\approx 2{,}2192884\\ (\text{aprox.}).
Agora a diferença entre as últimas aproximações:
|x_{5}-x_{4}|\approx 9{,}6\times10^{-7}<10^{-3},
ou seja a condição de parada |x_{n+1}-x_{n}|\le\epsilon foi satisfeita.
Como f(x_{4}) já era da ordem de 10^{-6}, a função também está praticamente nula naquele ponto, confirmando que encontramos uma raiz com a precisão pedida.

Resposta

x\approx 2{,}21929

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