Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com
, usando o método da Secante:
Utilize
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular pelo menos uma raiz real da função
usando o método da Secante, com tolerância
. Foram dados os palpites iniciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Função:
. - Método: método da Secante.
- Palpites iniciais:
e . - Tolerância:
.
Passo 2
O método da Secante aproxima a raiz construindo retas secantes entre os últimos dois pontos e usando a interseção com o eixo
como próxima aproximação. A fórmula iterativa é
O que cada símbolo significa:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos. -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
Critério de parada escolhido (comum e apropriado aqui): interromper quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor ou igual a
, isto é quando
(Isto garante que a aproximação não se altera além da precisão desejada.)
Vou aplicar a fórmula iterativamente a partir de
e
até que
.
Passo 3
Calcular
e
.
- Para
:
Valores conhecidos (aproximações):
e
.
Logo
Logo
- Para
:
Valores aproximados:
e
.
Logo
Logo
Observação:
e
, então há de fato uma raiz entre
e
.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
pela fórmula da Secante usando
e
.
A fórmula:
Substituindo os números:
Calcule passo a passo:
Portanto
Agora calcular
:
Aproximações rápidas (linearizando levemente para economizar trabalhos): usei que
(estimativa usando derivada
) e
(estimativa a partir de
e
).
Assim
Aproximações rápidas (linearizando levemente para economizar trabalhos): usei que
Assim
Resumo da iteração:
Diferença
. Continuamos.
Passo 5
Segunda iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo:
Calcule:
Logo
Calcular
(aproximação):
Usando linearização em torno de , obtemos
Usando linearização em torno de
portanto
Resumo:
Diferença
. Continuamos.
Passo 6
Terceira iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo números:
Então
Agora
(aproximação com linearização do
em torno de
):
Calculando derivada em
obtemos
. Como
,
Calculando derivada
Ou seja
é muito próximo de zero (da ordem de
).
Diferença
, ainda ligeiramente maior que
. Ainda não podemos parar se aplicarmos estritamente o critério escolhido, então fazemos mais uma iteração.
Passo 7
Quarta iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Aqui
é aproximadamente
(valor muito pequeno),
e
. Então a correção vale aproximadamente
Portanto
Agora a diferença entre as últimas aproximações:
ou seja a condição de parada
foi satisfeita.
Como
já era da ordem de
, a função também está praticamente nula naquele ponto, confirmando que encontramos uma raiz com a precisão pedida.