Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com \epsilon \leq 10^{-3}, usando o método da Secante:
f(x)=x+2 \cos (x) Utilize x_{0}=-1.5 e x_{1}=-0.5.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule pelo menos uma raiz real da função f usando o método da Secante com precisão \epsilon \leq 10^{-3}. As informações fornecidas são:
  • Função: f(x)=x+2\cos(x).
  • Palpites iniciais: x_{0}=-1{,}5 e x_{1}=-0{,}5.
  • Critério de parada: alcançar erro entre iterações menor ou igual a \epsilon=10^{-3} (ou seja, |x_{n+1}-x_{n}|\le 10^{-3}).

Passo 2

O método da Secante é um método numérico para aproximar raízes de f(x)=0. A ideia geométrica: aproximar f por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
A fórmula iterativa é
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})},
onde:
  • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações conhecidas,
  • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos,
  • x_{n+1} é a nova aproximação da raiz.
Critério prático de parada (usado aqui): parar quando
|x_{n+1}-x_n|\le 10^{-3}.
Também é bom confirmar que f(x_{n+1}) é pequeno.
Vou aplicar essa fórmula iterativamente a partir de x_0=-1{,}5 e x_1=-0{,}5, calculando f em cada ponto e verificando |x_{n+1}-x_n|.

Passo 3

Calcular f nos pontos iniciais.
Para x_0=-1{,}5:
\cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372017,
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f(x_0)=x_0+2\cos(x_0) = -1{,}5 + 2\cdot 0{,}0707372017 \approx -1{,}3585255967.
Para x_1=-0{,}5:
\cos(0{,}5)\approx 0{,}8775825619,
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f(x_1)=x_1+2\cos(x_1) = -0{,}5 + 2\cdot 0{,}8775825619 \approx 1{,}2551651238.
Resumo:
x_0=-1{,}5,\quad f(x_0)\approx -1{,}3585255967,
x_1=-0{,}5,\quad f(x_1)\approx 1{,}2551651238.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_2 usando x_0 e x_1.
Usando a fórmula da Secante:
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo os valores:
x_2 = -0{,}5 - 1{,}2551651238\cdot\frac{-0{,}5 - (-1{,}5)}{1{,}2551651238 - (-1{,}3585255967)}.
Observando que x_1-x_0=1{,}0 e f(x_1)-f(x_0)\approx 2{,}6136907205, tem-se
x_2 \approx -0{,}5 - \frac{1{,}2551651238\cdot 1{,}0}{2{,}6136907205} \approx -0{,}9801381730.
Calculei aproximadamente:
x_2\approx -0{,}9801381730.

Passo 5

Calcular f(x_2). Como \cos é par, \cos(-0{,}9801381730)=\cos(0{,}9801381730). Usando aproximação numérica:
\cos(0{,}9801381730)\approx 0{,}5569078045,
portanto
f(x_2)=x_2+2\cos(x_2) \approx -0{,}9801381730 + 2\cdot 0{,}5569078045 \approx 0{,}1336774360.
Resumo da iteração:
x_2\approx -0{,}9801381730,\quad f(x_2)\approx 0{,}1336774360.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x_3 usando x_1 e x_2.
Fórmula:
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo:
x_3 \approx -0{,}9801381730 - 0{,}1336774360\cdot\frac{-0{,}9801381730 - (-0{,}5)}{0{,}1336774360 - 1{,}2551651238}.
Calculando os termos:
x_2-x_1 \approx -0{,}4801381730,\qquad f(x_2)-f(x_1)\approx -1{,}1214876878.
Logo a fração vale aproximadamente 0{,}428126 e
x_3 \approx -0{,}9801381730 - 0{,}1336774360\cdot 0{,}428126 \approx -1{,}037369\\ (\text{aprox.}).
Calculei:
x_3\approx -1{,}037369,\quad f(x_3)\approx -0{,}0204071
(esse f(x_3) foi obtido avaliando 2\cos(1{,}037369) e somando a x_3).

Passo 7

Terceira iteração: calcular x_4 usando x_2 e x_3.
Fórmula:
x_4 = x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo os valores aproximados:
x_3-x_2\approx -0{,}057230827,\qquad f(x_3)-f(x_2)\approx -0{,}154084536.
Assim a fração é aproximadamente 0{,}3715. Então
x_4 \approx -1{,}037369 - (-0{,}0204071)\cdot 0{,}3715 \approx -1{,}029792.
Avaliação:
f(x_4)=x_4+2\cos(x_4)\approx -1{,}029792 + 2\cdot 0{,}514994 \approx 0{,}000196.
Diferença entre iterações:
|x_4-x_3|\approx 0{,}007577 > 10^{-3},
portanto ainda não atingimos a tolerância.

Passo 8

Quarta iteração: calcular x_5 usando x_3 e x_4.
Fórmula:
x_5 = x_4 - f(x_4)\,\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}.
Substituindo:
x_4-x_3\approx 0{,}007577,\qquad f(x_4)-f(x_3)\approx 0{,}0206031,
a fração vale aproximadamente 0{,}3678. Como f(x_4)\approx 0{,}000196, tem-se
x_5 \approx -1{,}029792 - 0{,}000196\cdot 0{,}3678 \approx -1{,}029864.
Verificação do critério de parada:
|x_5-x_4|\approx 7{,}2\times 10^{-5} \le 10^{-3}.
Portanto a iteração pode ser interrompida: a diferença entre iterações já é menor que \epsilon.
Também f(x_5) é muito pequeno (ordem de 10^{-5} a 10^{-4} pelo cálculo), o que confirma convergência.

Passo 9

Conclusão: a iteração parou quando |x_{5}-x_{4}|\le 10^{-3}. A aproximação da raiz obtida pela Secante com os palpites iniciais dados e com a tolerância pedida é aproximadamente x\approx -1{,}02986.

Resposta

-1{,}02986

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