Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com
, usando o método da Secante:
Utilize
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule pelo menos uma raiz real da função
usando o método da Secante com precisão
. As informações fornecidas são:
- Função:
. - Palpites iniciais:
e . - Critério de parada: alcançar erro entre iterações menor ou igual a
(ou seja, ).
Passo 2
O método da Secante é um método numérico para aproximar raízes de
. A ideia geométrica: aproximar
por uma reta que passa pelos pontos
e
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
.
A fórmula iterativa é
onde:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas, -
e são os valores da função nesses pontos, -
é a nova aproximação da raiz.
Critério prático de parada (usado aqui): parar quando
Também é bom confirmar que
é pequeno.
Vou aplicar essa fórmula iterativamente a partir de
e
, calculando
em cada ponto e verificando
.
Passo 3
Calcular
nos pontos iniciais.
Para
:
logo
Para
:
logo
Resumo:
Passo 4
Primeira iteração: calcular
usando
e
.
Usando a fórmula da Secante:
Substituindo os valores:
Observando que
e
, tem-se
Calculei aproximadamente:
Passo 5
Calcular
. Como
é par,
. Usando aproximação numérica:
portanto
Resumo da iteração:
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo:
Calculando os termos:
Logo a fração vale aproximadamente
e
Calculei:
(esse
foi obtido avaliando
e somando a
).
Passo 7
Terceira iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo os valores aproximados:
Assim a fração é aproximadamente
. Então
Avaliação:
Diferença entre iterações:
portanto ainda não atingimos a tolerância.
Passo 8
Quarta iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo:
a fração vale aproximadamente
. Como
, tem-se
Verificação do critério de parada:
Portanto a iteração pode ser interrompida: a diferença entre iterações já é menor que
.
Também
é muito pequeno (ordem de
a
pelo cálculo), o que confirma convergência.
Passo 9
Conclusão: a iteração parou quando
. A aproximação da raiz obtida pela Secante com os palpites iniciais dados e com a tolerância pedida é aproximadamente
.