Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com \epsilon \leq 10^{-2}, usando o método da Bisseção:
f(x)=x^{3}-c^{2 x}+3 Utilize a=0 e b=1.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcular pelo menos uma raiz real da função \;f(x)=x^{3}-c^{2x}+3\; com precisão \epsilon \le 10^{-2}, usando o método da Bisseção, no intervalo [a,b]=[0,1].”
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-c^{2x}+3.
  • Intervalo inicial: a=0 e b=1.
  • Precisão desejada: \epsilon \le 10^{-2}.
Observação importante (dado do enunciado): o parâmetro c não foi especificado numericamente no enunciado que você enviou. Para aplicar o método da Bisseção e obter um valor numérico aproximado de uma raiz, é necessário conhecer o valor de c porque a função depende de c. Vou então trabalhar primeiro analisando o que podemos deduzir usando apenas a informação simbólica sobre c, explicar o método da Bisseção e indicar o que falta para obter a aproximação numérica.

Passo 2

Verificação do sinal nos extremos (condição necessária para aplicar a Bisseção).
Calcular f(a) e f(b):
f(0)=0^{3}-c^{2\cdot 0}+3 = -c^{0}+3.
Assumindo c\neq 0 (caso c=0 há ambiguidade em 0^{0}; normalmente c>0 para bases em potências reais), tem-se c^{0}=1, logo
f(0) = -1 + 3 = 2.
Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-c^{2\cdot 1}+3 = 1 - c^{2} + 3 = 4 - c^{2}.
Para que exista pelo menos uma raiz em [0,1] pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI) é suficiente ter f(0)\cdot f(1)<0. Como f(0)=2>0, precisamos de f(1)<0, isto é
4 - c^{2} < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^{2} > 4 \quad\Longleftrightarrow\quad |c|>2.
Casos possíveis:
  • Se |c|>2 (em particular se c>2), então f(0)>0 e f(1)<0: existe pelo menos uma raiz em (0,1) e podemos aplicar Bisseção.
  • Se c=2 ou c=-2, então f(1)=0: x=1 é uma raiz exata.
  • Se |c|<2, então f(1)>0: não há garantia de mudança de sinal em [0,1], logo não podemos afirmar que exista raiz nesse intervalo usando o TVI (pode até haver raiz par que não muda de sinal, mas não podemos garantí-la sem informação adicional).
Como o valor numérico de c não foi fornecido, não é possível prosseguir com iterações numéricas concretas até obter uma aproximação numérica da raiz. A seguir vou ensinar direitinho o método da Bisseção e mostrar quantas iterações seriam necessárias para a precisão pedida; com o valor de c podemos então executar as iterações rapidamente.

Passo 3

O que é o método da Bisseção (aula rápida, sem pular etapas).
  • Ideia: se uma função contínua f muda de sinal num intervalo [a,b] (ou seja, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em (a,b). A Bisseção reduz o intervalo pela metade repetidamente, mantendo sempre um subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão desejada.
  • Operação de uma iteração:
    1. Calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
    2. Avaliar f(m).
    3. Se f(a)\cdot f(m)\le 0, então a raiz está em [a,m]; definir b\leftarrow m.
      Caso contrário, a raiz está em [m,b]; definir a\leftarrow m.
  • Critério de parada (duas opções usadas comumente):
    • Parar quando o comprimento do intervalo (b-a) for menor que \epsilon. A raiz aproximada pode ser tomada como \dfrac{a+b}{2}.
    • Ou parar quando |f(m)|<\text{tolerância em função de } \epsilonâçã. Para problemas práticos a primeira é simples e garantida.
  • Erro garantido: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Para obter erro em x menor que \epsilon (no sentido de localização da raiz), basta ter
\frac{b-a}{2^{n}} \le \epsilon \quad\Longrightarrow\quad n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\epsilon}\right).

Passo 4

Aplicando o critério de número de iterações ao caso dado ( a=0, b=1, \epsilon\le 10^{-2}).
Calcular quantas iterações são suficientes:
n \ge \log_{2}\!\left(\frac{1-0}{\epsilon}\right) = \log_{2}\!\left(\frac{1}{\epsilon}\right).
Com \epsilon=10^{-2} (o pior caso pedido),
n \ge \log_{2}(100) \approx 6{,}6438\ldots
Logo n=7 iterações são suficientes para garantir que o intervalo final tenha comprimento menor ou igual a 0{,}01. Isso significa que com, no máximo, 7 bissecções teremos uma aproximação da raiz com erro de localização \le 10^{-2}.
Observação prática: poucas contas! Só 7 avaliações de f são suficientes para a precisão pedida (na prática pode-se precisar de uma ou duas avaliações extras dependendo do critério exato).

Passo 5

Como proceder concretamente (passo a passo que você pode aplicar na prova assim que souber c).
  1. Primeiro verifique o sinal em a e b: calcule f(0)=2 e f(1)=4-c^{2}. Verifique que há mudança de sinal (ou f(1)=0 caso c=\pm 2). Se não houver mudança de sinal, informe que o método da Bisseção não se aplica diretamente (pelo menos não sem subdividir o intervalo ou usar outro método).
  2. Se houver mudança de sinal, faça até 7 iterações (porque já calculámos que 7 bastam para \epsilon=10^{-2}):
    • Iteração 1: m_{1}=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5. Calcule f(0{,}5)=0{,}5^{3}-c^{2\cdot 0{,}5}+3 = 0{,}125 - c + 3 = 3{,}125 - c. Determine o sinal de f(0{,}5).
    • Dependendo do sinal, escolha o novo intervalo [a_{1},b_{1}] igual a [0,0{,}5] ou [0{,}5,1].
    • Iteração 2: m_{2}=\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2} (vale 0{,}25 ou 0{,}75 dependendo do caso). Calcule f(m_{2}) (sempre da forma m_{2}^{3}-c^{2m_{2}}+3), e assim por diante.
  3. Após 7 iterações, tomar aproximação da raiz como o ponto médio do intervalo final \dfrac{a_{7}+b_{7}}{2}. Esse ponto difere da raiz verdadeira por no máximo 0{,}01.
Dica prática: em prova, mostre as primeiras iterações até ficar claro o padrão; se c for numérico isso é rápido (7 avaliações de f dá um cálculo direto).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (escolhi valores de c para ilustrar; isso é apenas exemplo — se o seu exercício tem outro c, faça os mesmos passos com esse valor).
  • Exemplo A: c=3 (temos |c|>2, logo existe raiz em (0,1)).
    • f(0)=2. f(1)=4-9=-5. Há mudança de sinal.
    • Iteração 1: m_{1}=0{,}5, f(0{,}5)=3{,}125-3=0{,}125>0 → novo intervalo [0{,}5,1].
    • Iteração 2: m_{2}=0{,}75, f(0{,}75)=0{,}421875 - 3^{1{,}5}+3. Aqui calcula-se numericamente 3^{1{,}5}=3^{3/2}\approx 5{,}19615, então f(0{,}75)\approx 0{,}421875 -5{,}19615 +3 \approx -1{,}7743 <0. Logo intervalo [0{,}5,0{,}75].
    • Continue até 7 iterações; pode-se obter a aproximação numérica final (com essas contas daria algo entre 0{,}62 e 0{,}63 por exemplo). Isso ilustra que com um c numérico é direto obter a raiz em poucas operações.
  • Exemplo B: c=2. f(1)=0, logo x=1 é raiz exata.

Passo 7

Conclusão e o que falta para terminar numericamente.
  • O procedimento está pronto: se você me disser o valor numérico de c eu executo as \le 7 bissecções e lhe dou a raiz aproximada com \epsilon \le 10^{-2}.
  • Sem o valor de c só podemos dar conclusões condicionais:
    • Se |c|>2, existe pelo menos uma raiz em (0,1) e a Bisseção fornece uma aproximação com \le 7 iterações para \epsilon=10^{-2}.
    • Se c=2 ou c=-2, então x=1 é raiz exata.
    • Se |c|<2, não há garantia (pelo TVI) de raiz em [0,1]; portanto o método da Bisseção não pode ser aplicado diretamente para afirmar a existência de raiz nesse intervalo.

Resposta

Se |c|>2: existe pelo menos uma raiz em (0,1); a Bisseção encontra uma aproximação com erro de localização \le 10^{-2} em no máximo 7 iterações (basta executar as 7 avaliações de f e retornar o ponto médio do intervalo final).\n
Se c=2 ou c=-2: x=1 é raiz exata.\n
Se |c|<2: não é possível garantir a existência de raiz em [0,1] a partir dos dados fornecidos (logo não se pode aplicar diretamente a Bisseção para obter uma raiz nesse intervalo).

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