Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com
, usando o método da Bisseção:
Utilize
e
.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcular pelo menos uma raiz real da função
com precisão
, usando o método da Bisseção, no intervalo
.”
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
e . - Precisão desejada:
.
Observação importante (dado do enunciado): o parâmetro
não foi especificado numericamente no enunciado que você enviou. Para aplicar o método da Bisseção e obter um valor numérico aproximado de uma raiz, é necessário conhecer o valor de
porque a função depende de
. Vou então trabalhar primeiro analisando o que podemos deduzir usando apenas a informação simbólica sobre
, explicar o método da Bisseção e indicar o que falta para obter a aproximação numérica.
Passo 2
Verificação do sinal nos extremos (condição necessária para aplicar a Bisseção).
Calcular
e
:
Assumindo
(caso
há ambiguidade em
; normalmente
para bases em potências reais), tem-se
, logo
Calcular
:
Para que exista pelo menos uma raiz em
pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI) é suficiente ter
. Como
, precisamos de
, isto é
Casos possíveis:
- Se
(em particular se ), então e : existe pelo menos uma raiz em e podemos aplicar Bisseção. - Se
ou , então : é uma raiz exata. - Se
, então : não há garantia de mudança de sinal em , logo não podemos afirmar que exista raiz nesse intervalo usando o TVI (pode até haver raiz par que não muda de sinal, mas não podemos garantí-la sem informação adicional).
Como o valor numérico de
não foi fornecido, não é possível prosseguir com iterações numéricas concretas até obter uma aproximação numérica da raiz. A seguir vou ensinar direitinho o método da Bisseção e mostrar quantas iterações seriam necessárias para a precisão pedida; com o valor de
podemos então executar as iterações rapidamente.
Passo 3
O que é o método da Bisseção (aula rápida, sem pular etapas).
- Ideia: se uma função contínua
muda de sinal num intervalo (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz em . A Bisseção reduz o intervalo pela metade repetidamente, mantendo sempre um subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão desejada. - Operação de uma iteração:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Se
, então a raiz está em ; definir .
Caso contrário, a raiz está em; definir .
- Calcular o ponto médio
- Critério de parada (duas opções usadas comumente):
- Parar quando o comprimento do intervalo
for menor que . A raiz aproximada pode ser tomada como . - Ou parar quando
. Para problemas práticos a primeira é simples e garantida.
- Parar quando o comprimento do intervalo
- Erro garantido: após
iterações o comprimento do intervalo é . Para obter erro em menor que (no sentido de localização da raiz), basta ter
Passo 4
Aplicando o critério de número de iterações ao caso dado (
,
,
).
Calcular quantas iterações são suficientes:
Com
(o pior caso pedido),
Logo
iterações são suficientes para garantir que o intervalo final tenha comprimento menor ou igual a
. Isso significa que com, no máximo, 7 bissecções teremos uma aproximação da raiz com erro de localização
.
Observação prática: poucas contas! Só 7 avaliações de
são suficientes para a precisão pedida (na prática pode-se precisar de uma ou duas avaliações extras dependendo do critério exato).
Passo 5
Como proceder concretamente (passo a passo que você pode aplicar na prova assim que souber
).
- Primeiro verifique o sinal em
e : calcule e . Verifique que há mudança de sinal (ou caso ). Se não houver mudança de sinal, informe que o método da Bisseção não se aplica diretamente (pelo menos não sem subdividir o intervalo ou usar outro método). - Se houver mudança de sinal, faça até 7 iterações (porque já calculámos que 7 bastam para
): - Iteração 1:
. Calcule . Determine o sinal de . - Dependendo do sinal, escolha o novo intervalo
igual a ou . - Iteração 2:
(vale ou dependendo do caso). Calcule (sempre da forma ), e assim por diante.
- Iteração 1:
- Após 7 iterações, tomar aproximação da raiz como o ponto médio do intervalo final
. Esse ponto difere da raiz verdadeira por no máximo .
Dica prática: em prova, mostre as primeiras iterações até ficar claro o padrão; se
for numérico isso é rápido (7 avaliações de
dá um cálculo direto).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (escolhi valores de
para ilustrar; isso é apenas exemplo — se o seu exercício tem outro
, faça os mesmos passos com esse valor).
- Exemplo A:
(temos , logo existe raiz em ). -
. . Há mudança de sinal. - Iteração 1:
, → novo intervalo . - Iteração 2:
, . Aqui calcula-se numericamente , então . Logo intervalo . - Continue até 7 iterações; pode-se obter a aproximação numérica final (com essas contas daria algo entre
e por exemplo). Isso ilustra que com um numérico é direto obter a raiz em poucas operações.
-
- Exemplo B:
. , logo é raiz exata.
Passo 7
Conclusão e o que falta para terminar numericamente.
- O procedimento está pronto: se você me disser o valor numérico de
eu executo as bissecções e lhe dou a raiz aproximada com . - Sem o valor de
só podemos dar conclusões condicionais: - Se
, existe pelo menos uma raiz em e a Bisseção fornece uma aproximação com iterações para . - Se
ou , então é raiz exata. - Se
, não há garantia (pelo TVI) de raiz em ; portanto o método da Bisseção não pode ser aplicado diretamente para afirmar a existência de raiz nesse intervalo.
- Se
Resposta
Se
: existe pelo menos uma raiz em
; a Bisseção encontra uma aproximação com erro de localização
em no máximo
iterações (basta executar as 7 avaliações de
e retornar o ponto médio do intervalo final).\n
Se ou
:
é raiz exata.\n
Se : não é possível garantir a existência de raiz em
a partir dos dados fornecidos (logo não se pode aplicar diretamente a Bisseção para obter uma raiz nesse intervalo).
Se
Se