Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com
, usando o método de Newton-Raphson:
Utilize
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular pelo menos uma raiz real da função
usando o método de Newton-Raphson, com tolerância
, e o chute inicial
.
Informações dadas:
- A função é
. - O chute inicial é
. - A tolerância exigida é
(vou usar ).
A tarefa é aplicar o método de Newton até que o critério de parada seja satisfeito e apresentar a raiz aproximada.
Passo 2
Explicação didática do método de Newton-Raphson (o “porquê” da fórmula).
- A ideia do método é aproximar a função
por sua reta tangente em um ponto e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A equação da reta tangente a
em é, em notação simples,
- A interseção com o eixo
ocorre quando . Resolvendo para obtém-se a iteração de Newton:
- Aqui
é a derivada de . Cada iteração costuma melhorar bastante a aproximação se não for zero perto da raiz. - Critérios de parada comuns: (i)
ou (ii) . Vou usar o critério (i) com , isto é, paro quando a diferença entre iterações consecutivas ficar menor ou igual a .
Passo 3
Derivar
e preparar para as substituições.
- A função é
. - A derivada é
- A fórmula iterativa fica então
Passo 4
Iteração
(a partir de
).
- Calcular
e :
- Aplicando Newton:
- Diferença
, então ainda não paramos.
Passo 5
Iteração
.
- Primeiro avalio
e em .
Para calculare de forma transparente posso usar a expansão de Taylor truncada (suficiente para poucos decimais) ou uma calculadora; aqui mostro uma aproximação por Taylor para justificar os valores numéricos: - Para
(aprox ):
- Para
- Então
- Aplicando Newton:
- Diferença
, então ainda continuamos.
Passo 6
Iteração
.
- Avalio
e em .
Usando aproximações (Taylor ou calculadora) parae : - Então
- Aplicando Newton:
- Diferença
, que é menor que . Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar como aproximação da raiz com a precisão pedida.
Passo 7
Verificação final rápida do residuo (opcional, só para garantir qualidade):
- Calcular
com as aproximações:
valor muito pequeno, compatível com boa convergência.
Passo 8
Interpretação e dica de prova:
- A raiz encontrada é aproximadamente
. Em prova, explique a fórmula de Newton, calcule e , faça 2–4 iterações e use o critério . Se precisar justificar sem calculadora, use a expansão em série (como mostrei) para estimar e com precisão suficiente para o critério pedido.