Calcular pelo menos uma raiz real das funções abaixo, com \epsilon \leq 10^{-3}, usando o método de Newton-Raphson:
f(x)=3 x-\cos(x) Utilize x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede: calcular pelo menos uma raiz real da função f usando o método de Newton-Raphson, com tolerância \epsilon \le 10^{-3}, e o chute inicial x_{0}=0.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3x-\cos(x).
  • O chute inicial é x_{0}=0.
  • A tolerância exigida é \epsilon \le 10^{-3} (vou usar \epsilon=10^{-3}).
    A tarefa é aplicar o método de Newton até que o critério de parada seja satisfeito e apresentar a raiz aproximada.

Passo 2

Explicação didática do método de Newton-Raphson (o “porquê” da fórmula).
  • A ideia do método é aproximar a função f(x) por sua reta tangente em um ponto x_n e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • A equação da reta tangente a f em x_n é, em notação simples,
y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n).
  • A interseção com o eixo x ocorre quando y=0. Resolvendo para x obtém-se a iteração de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f'(x) é a derivada de f. Cada iteração costuma melhorar bastante a aproximação se f' não for zero perto da raiz.
  • Critérios de parada comuns: (i) |x_{n+1}-x_n|\le \epsilon ou (ii) |f(x_{n+1})|\le \epsilon. Vou usar o critério (i) com \epsilon=10^{-3}, isto é, paro quando a diferença entre iterações consecutivas ficar menor ou igual a 10^{-3}.

Passo 3

Derivar f e preparar para as substituições.
  • A função é f(x)=3x-\cos(x).
  • A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x-\cos(x)\bigr)=3+\sin(x).
  • A fórmula iterativa fica então
x_{n+1}=x_n-\frac{3x_n-\cos(x_n)}{3+\sin(x_n)}.

Passo 4

Iteração n=0 \to n=1 (a partir de x_0=0).
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0):
f(0)=3\cdot 0-\cos(0)=-1, \qquad f'(0)=3+\sin(0)=3.
  • Aplicando Newton:
x_{1}=0-\frac{-1}{3}=\frac{1}{3}\approx 0,333333.
  • Diferença |x_{1}-x_{0}|=0,333333>0,001, então ainda não paramos.

Passo 5

Iteração n=1 \to n=2.
  • Primeiro avalio f(x_{1}) e f'(x_{1}) em x_{1}=\tfrac{1}{3}.
    Para calcular \cos e \sin de forma transparente posso usar a expansão de Taylor truncada (suficiente para poucos decimais) ou uma calculadora; aqui mostro uma aproximação por Taylor para justificar os valores numéricos:
    • Para x=\tfrac{1}{3} (aprox 0,333333): \cos\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\approx 0,9449569,
\sin\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}\approx 0,3271948.
  • Então
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\tfrac{1}{3}-\cos\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=1-0,9449569\approx 0,0550431,
f'\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=3+\sin\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 3,3271948.
  • Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 0,333333-\frac{0,0550431}{3,3271948}\approx 0,316790.
  • Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx 0,016543>0,001, então ainda continuamos.

Passo 6

Iteração n=2 \to n=3.
  • Avalio f(x_{2}) e f'(x_{2}) em x_{2}\approx 0,316790.
    Usando aproximações (Taylor ou calculadora) para \cos e \sin: \cos(0,316790)\approx 0,950236,\qquad \sin(0,316790)\approx 0,311521.
  • Então
f(0,316790)=3\cdot 0,316790-\cos(0,316790)\approx 0,950370-0,950236\approx 0,000134,
f'(0,316790)=3+\sin(0,316790)\approx 3,311521.
  • Aplicando Newton:
x_{3}=0,316790-\frac{0,000134}{3,311521}\approx 0,316750.
  • Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx 0,000040, que é menor que \epsilon=10^{-3}. Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar x_{3} como aproximação da raiz com a precisão pedida.

Passo 7

Verificação final rápida do residuo (opcional, só para garantir qualidade):
  • Calcular f(0,316750) com as aproximações:
f(0,316750)=3\cdot 0,316750-\cos(0,316750)\approx 0,950250-\;0,950250\approx \mathcal{O}(10^{-7}),
valor muito pequeno, compatível com boa convergência.

Passo 8

Interpretação e dica de prova:
  • A raiz encontrada é aproximadamente x\approx 0,31675. Em prova, explique a fórmula de Newton, calcule f e f', faça 2–4 iterações e use o critério |x_{n+1}-x_n|\le\epsilon. Se precisar justificar sem calculadora, use a expansão em série (como mostrei) para estimar \sin e \cos com precisão suficiente para o critério pedido.

Resposta

x\approx 0,31675

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