Calcular o número de regiões em que o plano é dividido por n retas distintas em cada uma das seguintes situações:
as n retas são concorrentes;

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente calcular em quantas regiões o plano fica dividido quando temos retas distintas, mas todas passando pelo mesmo ponto (ou seja, “concurrentes”). Isso é um probleminha de geometria/combinatória básica, onde a gente precisa entender como cada reta vai quebrar o plano em pedaços. Para resolver, vamos usar a ideia de “setores” que as retas formam ao se cruzarem num mesmo ponto e montar um raciocínio passo a passo sem pular nada.

Passo 2

Começando do trivial: sem nenhuma reta, o plano é só 1 região. Quando coloco a primeira reta, ela corta o plano em 2 regiões. Ou seja, para R(1) = 2 , temos
Aqui, é o número de regiões com retas.

Passo 3

Agora, como todas as retas passam pelo mesmo ponto, cada nova reta que eu desenhar vai atravessar esse ponto e dividir o “circuito” de 360° ao redor dele. Se já tenho R(k+1) = R(k) + 2 retas, o plano está cortado em “pedaços” (setores angulares). Quando eu adiciono a -ésima reta, ela atravessa o ponto central e dá uma “tesourada” em cada um dos 2 setores existentes? Na real, não: ela só adiciona 2 regiões novas. Explicando com calma:
  1. Antes da reta nova, existem setores.
  2. A nova reta passa pelo ponto e “abre” dois desses setores, transformando cada um em dois pedaços.
  3. Logo, só há 2 setores que mudam, e cada um gera +1 região extra, totalizando +2 regiões.
Então a cada reta extra, a gente aumenta o total em 2:

Passo 4

Agora basta resolver essa “recorrência” simples. Sabemos que R(n) = 2 + 2,(n-1) = 2n e que a cada passo somamos 2:

Resposta

boxed2n
Ou seja, retas concorrentes dividem o plano em regiões.

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