Calcular o número de regiões em que o plano é dividido por
retas distintas em cada uma das seguintes situações:
as
retas são concorrentes;
as
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente calcular em quantas regiões o plano fica dividido quando temos
retas distintas, mas todas passando pelo mesmo ponto (ou seja, “concurrentes”). Isso é um probleminha de geometria/combinatória básica, onde a gente precisa entender como cada reta vai quebrar o plano em pedaços. Para resolver, vamos usar a ideia de “setores” que as retas formam ao se cruzarem num mesmo ponto e montar um raciocínio passo a passo sem pular nada.
Passo 2
Começando do trivial: sem nenhuma reta, o plano é só 1 região. Quando coloco a primeira reta, ela corta o plano em 2 regiões. Ou seja, para
, temos
Aqui,
é o número de regiões com
retas.
Passo 3
Agora, como todas as retas passam pelo mesmo ponto, cada nova reta que eu desenhar vai atravessar esse ponto e dividir o “circuito” de 360° ao redor dele. Se já tenho
retas, o plano está cortado em
“pedaços” (setores angulares). Quando eu adiciono a
-ésima reta, ela atravessa o ponto central e dá uma “tesourada” em cada um dos 2 setores existentes? Na real, não: ela só adiciona 2 regiões novas. Explicando com calma:
- Antes da reta nova, existem
setores. - A nova reta passa pelo ponto e “abre” dois desses setores, transformando cada um em dois pedaços.
- Logo, só há 2 setores que mudam, e cada um gera +1 região extra, totalizando +2 regiões.
Então a cada reta extra, a gente aumenta o total em 2:
Passo 4
Agora basta resolver essa “recorrência” simples. Sabemos que
e que a cada passo somamos 2:
Resposta
Ou seja,
retas concorrentes dividem o plano em
regiões.