Dizemos que uma figura é enquadrável com régua e compasso, se a partir dela é possível, utilizando apenas régua e compasso, construir um quadrado de mesma área. Prove que:
um polígono qualquer é enquadrável.
Sugestão para o item (b): Utilize indução dividindo a figura em triângulos.
um polígono qualquer é enquadrável.
Sugestão para o item (b): Utilize indução dividindo a figura em triângulos.
Passo 1
Resumo do que a questão pede e o que vamos usar
A questão diz que uma figura é “enquadrável” se, usando só régua e compasso, consigo construir um quadrado de mesma área. Ela pede para provar que qualquer polígono é enquadrável.
Conteúdo envolvido:
A questão diz que uma figura é “enquadrável” se, usando só régua e compasso, consigo construir um quadrado de mesma área. Ela pede para provar que qualquer polígono é enquadrável.
Conteúdo envolvido:
- Área de triângulo = (base·altura)/2.
- Construções clássicas com régua e compasso: dividir um segmento ao meio, soma de segmentos, média proporcional (para achar √(ab)), construir triângulo retângulo.
- Estratégia de indução: primeiro trato o caso de um só triângulo, depois mostro que, se a união de k triângulos é enquadrável, a união de k+1 também é.
Passo 2
Caso base: quadrar um único triângulo
- Seja Δ com base b e altura h. A área dele é A = (b·h)/2. Queremos um quadrado de lado x tal que
x² = A = b·h/2. - Como construir x = √(b·h/2)?
a) Primeiro dividimos o segmento que representa h em duas partes iguais (construção padrão: arcos iguais e reta de fusão), obtendo h/2.
b) Na mesma reta, colocamos consecutivamente os comprimentos b e h/2, totalizando um segmento de comprimento b + (h/2). Marcamos o ponto C que separa b de h/2.
c) Desenhamos a semicircunferência de diâmetro total (b + h/2). Pelo Teorema de Tales, a perpendicular levantada em C até ela encontra um ponto D tal que CD = √(b·(h/2)).
d) Mas CD² = b·(h/2) ⇒ CD² = b·h/2, ou seja, CD é exatamente o x que precisamos. - Então construímos um quadrado de lado CD, e ele tem área igual à do triângulo. Concluímos que todo triângulo é enquadrável.
Passo 3
Passo de indução: somando mais um triângulo
- Suponha que já sabemos construir, com régua e compasso, um quadrado de lado p cuja área é a união de k triângulos (hipótese de indução).
- Pelo Passo 2, para o próximo (k+1)-ésimo triângulo podemos construir um quadrado de lado t de mesma área desse triângulo.
- A soma das áreas é p² + t². Se conseguirmos um quadrado de lado s tal que
s² = p² + t²,
teremos quadrado da área total. - Para isso basta construir um triângulo retângulo de catetos p e t (régua e compasso permitem marcar ângulo reto e retranspor comprimentos). A hipotenusa desse triângulo mede
s = √(p² + t²). - Construímos então um quadrado de lado s. Ele tem exatamente a área p² + t², ou seja, a soma das duas áreas. Isso fecha o passo indutivo.
Passo 4
Conclusão para qualquer polígono
Qualquer polígono de n lados pode ser dividido em n–2 triângulos (triangulação).
– Pelo Passo 2, sabemos quadrar um triângulo.
– Aplicando n–3 vezes o Passo 3 (indo de 1 triângulo até n–2 triângulos), construímos um quadrado que soma todas as áreas.
Logo, todo polígono é enquadrável.
Qualquer polígono de n lados pode ser dividido em n–2 triângulos (triangulação).
– Pelo Passo 2, sabemos quadrar um triângulo.
– Aplicando n–3 vezes o Passo 3 (indo de 1 triângulo até n–2 triângulos), construímos um quadrado que soma todas as áreas.
Logo, todo polígono é enquadrável.
Resposta
Provamos por indução que, partindo da triangulação de um polígono, conseguimos construir com régua e compasso um quadrado de mesma área. Portanto, qualquer polígono é enquadrável.