Considere Fn a sequência de Fibonacci. Mostre que:
sumi=1^n Fi=Fn+2-1;

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente quer é mostrar que, para a sequência de Fibonacci sumi=1^n Fi ;=; Fn+2 ;-; 1 , vale a fórmula
O conteúdo envolvido é:
  1. Definição da sequência de Fibonacci ( , , ).
  2. Princípio de indução matemática, que é uma ferramenta para provar afirmações para todo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a prova por indução:
  • Base da indução: mostrar que a fórmula funciona para o menor valor de sumi=1^1 Fi = F1 = 1 (aqui F1+2 - 1 = F3 -1 = 2 - 1 = 1, ).
  • Passo de indução: assumir que a fórmula vale para algum e então provar que ela vale para .
Base ( ):
Do outro lado, a fórmula diz
pois . Então para tá tudo certo.

Passo 3

Agora vem a mágica da indução.
Hipótese de indução: suponha que, para algum sumi=1^k Fi ;=; Fk+2 - 1 , valha
sumi=1^k+1 Fi = F(k+1)+2 - 1 = Fk+3 - 1
Queremos mostrar que daí segue
sumi=1^k+1 Fi = l(sumi=1^k Fir) + Fk+1
Começamos escrevendo a soma até sumi=1^k+1 Fi = l(Fk+2 - 1r) + Fk+1 = l(Fk+2 + Fk+1r) - 1 como soma até Fk+3 = Fk+2 + Fk+1 mais o termo sumi=1^k+1 Fi = Fk+3 - 1, :
Pela hipótese de indução, . Então
E a gente conhece a definição de Fibonacci:
Logo
que é exatamente o que a gente queria provar no passo de indução.
Como a base deu certo e o passo de indução também, concluímos que a fórmula vale para todo .

Resposta

boxedsumi=1^n Fi = Fn+2 - 1

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