Mostre que para qualquer número natural
é sempre divisível por 133 .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Mostrar que, para todo número natural
,
é sempre divisível por 133.”
Matéria envolvida: aritmética modular (congruências) e fatoração de números.
O que vamos usar:
Matéria envolvida: aritmética modular (congruências) e fatoração de números.
O que vamos usar:
- Fatorar
. - Mostrar que a expressão é 0 módulo 7 e 0 módulo 19.
- Concluir que, sendo divisível por 7 e por 19, é divisível por 133.
Passo 2
Divisibilidade por 7.
- Primeiro, reduzimos as bases módulo 7:
- Então
- Repare que
(porque ). - Logo
pois é múltiplo de 7.
Passo 3
Divisibilidade por 19.
- Agora reduzimos as bases módulo 19:
- Escrevemos
- Calculamos
e em módulo 19: - Então
Resposta
Como mostramos que
segue que a expressão é múltiplo de
e de
. Logo, ela é múltiplo de
. Portanto, para todo
,
é divisível por
.