Mostre que para qualquer número natural n >= 0,11^n+2+12^2 n+1 é sempre divisível por 133 .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Mostrar que, para todo número natural 11^n+2 ;+; 12^2n+1 ,
é sempre divisível por 133.”
Matéria envolvida: aritmética modular (congruências) e fatoração de números.
O que vamos usar:
  1. Fatorar .
  2. Mostrar que a expressão é 0 módulo 7 e 0 módulo 19.
  3. Concluir que, sendo divisível por 7 e por 19, é divisível por 133.

Passo 2

Divisibilidade por 7.
  1. Primeiro, reduzimos as bases módulo 7: 11 equiv 4 pmod7, 12 equiv 5 pmod7
  2. Então 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 4^,n+2 + 5^,2n+1 pmod7
  3. Repare que 5^2n+1 = 5 cdot (5^2)^n = 5 cdot 25^n equiv 5 cdot 4^n pmod7 (porque 4^n+2 + 5^2n+1 equiv 4^n+2 + 5cdot4^n = 4^nl(4^2 + 5r) = 4^n cdot 21 equiv 0 pmod7, ).
  4. Logo pois é múltiplo de 7.

Passo 3

Divisibilidade por 19.
  1. Agora reduzimos as bases módulo 19: 11 equiv 11 pmod19, 12 equiv 12 pmod19
  2. Escrevemos 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 11^2cdot11^n ;+; 12cdot(12^2)^n pmod19
  3. Calculamos 11^2 = 121 equiv 121 - 6cdot19 = 121 -114 = 7 pmod19, e 12^2 = 144 equiv 144 - 7cdot19 = 144 -133 = 11 pmod19 em módulo 19: 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 7cdot11^n ;+; 12cdot 11^n = (7+12),11^n = 19cdot11^n equiv 0 pmod19
  4. Então

Resposta

Como mostramos que
11^n+2 + 12^2n+1 equiv 0 pmod7 e 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 0 pmod19,
segue que a expressão é múltiplo de 11^n+2 + 12^2n+1 e de . Logo, ela é múltiplo de . Portanto, para todo ,
é divisível por .

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