Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
i^1980

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente calcular, pra , quatro coisas:
  • parte real
  • parte imaginária
  • conjugado
  • módulo
Isso é tudo sobre números complexos. Vamos usar:
  1. A definição de (a raiz quadrada de ).
  2. A periodicidade das potências de (ela se repete a cada 4).
  3. Como extrair parte real e imaginária de um número complexo .
  4. A fórmula do conjugado ( ).
  5. A fórmula do módulo ( ).

Passo 2

Pra começar, a gente vê a tal periodicidade de i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, :
1980 bmod 4 = 0
e daí volta tudo a se repetir de 4 em 4.
Então, pra i^1980 = 1 , calculamos o resto da divisão de 1980 por 4:
Quando o expoente dá resto 0, a potência é igual a , que vale 1.
Logo

Passo 3

Agora que sabemos que o número complexo em questão é , vamos extrair:
  • Parte real: é o coeficiente que multiplica 1, ou seja, .
  • Parte imaginária: é o coeficiente que multiplica ; aqui não tem , então .

Passo 4

O conjugado de um número 1 = 1 - 0i = 1 é .
Como nosso número é , o conjugado é

Passo 5

O módulo de |1| = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 é .
Aqui e , então

Resposta

Parte real = 1
Parte imaginária = 0
Conjugado = 1
Módulo = 1

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