Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente calcular, pra
, quatro coisas:
- parte real
- parte imaginária
- conjugado
- módulo
Isso é tudo sobre números complexos. Vamos usar:
- A definição de
(a raiz quadrada de ). - A periodicidade das potências de
(ela se repete a cada 4). - Como extrair parte real e imaginária de um número complexo
. - A fórmula do conjugado (
). - A fórmula do módulo (
).
Passo 2
Pra começar, a gente vê a tal periodicidade de
i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, :
e daí volta tudo a se repetir de 4 em 4.
Então, pra i^1980 = 1 , calculamos o resto da divisão de 1980 por 4:
Então, pra
Quando o expoente dá resto 0, a potência é igual a
, que vale 1.
Logo
Logo
Passo 3
Agora que sabemos que o número complexo em questão é
, vamos extrair:
- Parte real: é o coeficiente que multiplica 1, ou seja,
. - Parte imaginária: é o coeficiente que multiplica
; aqui não tem , então .
Passo 4
O conjugado de um número
1 = 1 - 0i = 1 é
.
Como nosso número é , o conjugado é
Como nosso número é
Passo 5
O módulo de
|1| = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 é
.
Aqui e
, então
Aqui
Resposta
Parte real = 1
Parte imaginária = 0
Conjugado = 1
Módulo = 1
Parte imaginária = 0
Conjugado = 1
Módulo = 1