Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
(2+i^1 31+i^11)^3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular, pro número complexo
z = l(2 + i^131 + i^11r)^3,
a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo de .
Conteúdo: números complexos – especificamente poder de , divisão de complexos, elevação ao cubo, além de definição de parte real e imaginária, conjugado e módulo.
Vamos precisar:
  • saber que e, em geral, se reduz módulo 4;
  • técnica de racionalizar denominador ;
  • fórmula de (ou forma trigonométrica, mas aqui vamos no binomial);
  • fórmulas:
    Parte real de é , parte imaginária é , conjugado é e módulo é .

Passo 2

Primeiro simplificamos as potências de 2 + i^131 + i^11 =2 + i1 - i :
  • .
  • .
    Então

Passo 3

Para dividir complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 2 + i1 - i =(2+i)(1+i)(1-i)(1+i) =2cdot1 + 2i + icdot1 + i^21 - i^2 =2 + 3i -11 - (-1) =1 + 3i2 =12 + 32i , que é :

Passo 4

Agora elevamos (a+bi)^3 = a^3 + 3a^2(bi) + 3a(bi)^2 + (bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) ;+; i,(3a^2b - b^3) ao cubo. Usamos o binômio para a^3 - 3ab^2 = 18 - 278 = -268 = -134 :
3a^2b - b^3 = 98 - 278 = -188 = -94
Aqui z = l(2 + i^131 + i^11r)^3 = -134 ;-; i,94 e .
  • .
  • .
  • .
  • .
    Logo
    Parte real:
Parte imaginária:
Então

Resposta

Parte real: |z| = raizl(-tfrac134r)^2 + l(-tfrac94r)^2 = 14raiz169 + 81 = 5raiz104
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo:

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