Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular, pro número complexo
a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo de
.
Conteúdo: números complexos – especificamente poder de , divisão de complexos, elevação ao cubo, além de definição de parte real e imaginária, conjugado e módulo.
Vamos precisar:
Conteúdo: números complexos – especificamente poder de
Vamos precisar:
- saber que
e, em geral, se reduz módulo 4; - técnica de racionalizar denominador
; - fórmula de
(ou forma trigonométrica, mas aqui vamos no binomial); - fórmulas:
Parte real deé , parte imaginária é , conjugado é e módulo é .
Passo 2
Primeiro simplificamos as potências de
:
-
. -
.
Então
Passo 3
Para dividir complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
:
Passo 4
Agora elevamos
ao cubo. Usamos o binômio para
:
Aqui
e
.
-
. -
. -
. -
.
Logo
Parte real:
Parte imaginária:
Então
Resposta
Parte real:
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo:
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo: