Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
(1-i1+i)^3

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular, para o número complexo
gl(1 - i1 + igr)^3,
a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo.
Matéria: números complexos.
O que vamos usar:
  • Como dividir complexos (racionalização multiplicando pelo conjugado).
  • Como elevar um complexo a uma potência inteira.
  • Definições de parte real, parte imaginária, conjugado e módulo.

Passo 2

Primeiro, simplificar 1 - i1 + i = (1 - i)(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 1 - 2i + i^21 - i^2 = 1 - 2i - 11 - (-1) = -2i2 = -,i .
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de , que é :

Passo 3

Agora elevamos ao cubo:
l(-,ir)^3 = -,i times -,i times -,i = (-i)^2 times (-i) = (-1)^2,i^2 times (-i) = (1)(-1)times(-i) = i
Logo
gl(1 - i1 + igr)^3 = i

Passo 4

A gente já tem . Agora:
  • Parte real de , , é o coeficiente de . Aqui .
  • Parte imaginária de , , é o coeficiente de . Aqui .

Passo 5

Para :
  • O conjugado é .
  • O módulo é .

Resposta

Parte real = 0; parte imaginária = 1; conjugado = ; módulo = 1.

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