Mostre que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Mostre que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.”
Isso é conteúdo de Topologia (ou Teoria dos Conjuntos em espaços métricos).
O que vamos precisar:
  1. A definição de conjunto aberto em um espaço métrico B(x,varepsilon)=yin X: d(y,x):
    Para todo em , existe tal que a bola fica inteirinha dentro de .
  2. O fato de que, dado um conjunto finito de números reais positivos , seu mínimo
    também é um número positivo.

Passo 2

Primeiro, relembra a definição de aberto:
Um conjunto é aberto se, para cada ponto , a gente consegue achar uma “bolinha”
. Essa bolinha é só o conjunto de todos os pontos que ficam a menos de de .
É esse “bairro” ao redor de que garante que não tem “fronteiras” pontiagudas deixando de fora.

Passo 3

Agora, seja A = A1cap A2cap cdots cap An um conjunto finito de conjuntos abertos em B(x,varepsiloni)subset Ai . Definimos
varepsilon = minvarepsilon1,varepsilon2,dots,varepsilonn
Queremos provar que é aberto. Então tomamos um ponto qualquer .
Isso significa que está em cada .
Como cada é aberto, pra cada existe um raio tal que
Agora vem a sacada do “mínimo”: defina
Como o conjunto é finito e todos , o mínimo também é maior que zero.

Passo 4

Com esse B(x,varepsilon);subset;B(x,varepsiloni)para todo i, , observe que
B(x,varepsilon);subset;capi=1^n B(x,varepsiloni) ;subset;capi=1^n Ai ;=;A
porque . Então
Isso mostra que, para qualquer , existe uma bola de raio em .

Resposta

Portanto, satisfaz a definição de conjunto aberto. Logo, a interseção de um número finito de conjuntos abertos é aberta.

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