Mostre que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Passo 1
Beleza, a questão é: “Mostre que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.”
Isso é conteúdo de Topologia (ou Teoria dos Conjuntos em espaços métricos).
O que vamos precisar:
Isso é conteúdo de Topologia (ou Teoria dos Conjuntos em espaços métricos).
O que vamos precisar:
- A definição de conjunto aberto em um espaço métrico
:
Para todoem , existe tal que a bola fica inteirinha dentro de . - O fato de que, dado um conjunto finito de números reais positivos
, seu mínimo
também é um número positivo.
Passo 2
Primeiro, relembra a definição de aberto:
Um conjunto é aberto se, para cada ponto
, a gente consegue achar uma “bolinha”
. Essa bolinha é só o conjunto de todos os pontos
que ficam a menos de
de
.
É esse “bairro” ao redor de que garante que
não tem “fronteiras” pontiagudas deixando
de fora.
Um conjunto
É esse “bairro” ao redor de
Passo 3
Agora, seja
um conjunto finito de conjuntos abertos em
. Definimos
Queremos provar que
é aberto. Então tomamos um ponto qualquer
.
Isso significa que está em cada
.
Isso significa que
Como cada
é aberto, pra cada
existe um raio
tal que
Agora vem a sacada do “mínimo”: defina
Como o conjunto
é finito e todos
, o mínimo
também é maior que zero.
Passo 4
Com esse
, observe que
porque
. Então
Isso mostra que, para qualquer
, existe uma bola de raio
em
.
Resposta
Portanto,
satisfaz a definição de conjunto aberto. Logo, a interseção de um número finito de conjuntos abertos é aberta.