Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
(2-i^1 31-i^21)^3

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente encontre quatro coisas do número
l(2 - i^1,31 - i^21r)^3!:
  1. A parte real.
  2. A parte imaginária.
  3. O conjugado.
  4. O módulo.
Conteúdo que vamos usar:
  • Propriedade para simplificar potências de .
  • Divisão de complexos multiplicando pelo conjugado do denominador.
  • Binômio de Newton (ou multiplicação direta) para elevar ao cubo.
  • Definição de parte real, parte imaginária, conjugado e módulo.

Passo 2

Primeiro a gente simplifica as potências de l(2 - 3i,1 - i,r)^3 :
  • .
  • .
Então a expressão fica

Passo 3

Agora divide 2 - 3i1 - i = (2-3i),(1+i)(1-i)(1+i) por (2-3i)(1+i)=2cdot1 + 2cdot i -3icdot1 -3icdot i = 2 +2i -3i -3i^2 =2 - i -3(-1) =2 - i +3 =5 - i . A técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de 2 - 3i1 - i = 5 - i2 = 52 ;-;12i , que é :
No denominador .
No numerador:
Logo

Passo 4

Agora vamos elevar z^2=l(tfrac52-tfrac12 ir)^2 =tfrac254 -2cdottfrac52cdottfrac12,i +tfrac14i^2 =tfrac254 -tfrac52i +tfrac14(-1) =tfrac244 -tfrac52i =tfrac132 -tfrac52i ao cubo. Primeiro z^3 =l(tfrac132-tfrac52ir)l(tfrac52-tfrac12 ir) :
z^3 = 15 ;-;192i
Agora :
Multiplicando termo a termo:
  • Real:
  • Imaginário:
Logo

Passo 5

Dessa forma, para o número
|w| = raiz15^2 +l(-tfrac192r)^2 = raiz225 + tfrac3614 = raiztfrac900+3614 = raiz12612 , temos:
  1. Parte real: .
  2. Parte imaginária: .
  3. Conjugado: .
  4. Módulo:

Resposta

Parte real = 15
Parte imaginária =
Conjugado =
Módulo =

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