Calcule a integral.
integral duplaB 1(x^2+y^2)^2 d x d y, em que B=(x, y) ; 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede: calcular a integral dupla
integral duplaB 1(x^2 + y^2)^2,dx,dy
onde
B = (x,y)colon 1 <= x^2 + y^2 <= 4
Aqui a matéria é mudança pra coordenadas polares e análise de integrais em regiões circulares (ou anéis). A gente vai precisar lembrar que em coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
o elemento de área vira , e que a região vira um anel com , ou seja e de a .

Passo 2

Primeiro, escrevemos o integrando e o x^2 + y^2 = r^2, em coordenadas polares. Note que
1(x^2 + y^2)^2 = 1(r^2)^2 = 1r^4
então
1r^4;r,dr,dtheta = r^-3,dr,dtheta
Além disso, . Logo o integrando todo vira

Passo 3

Agora substituímos os limites de integral duplaB1(x^2+y^2)^2dx,dy = integraltheta=0^2piintegralr=1^2 r^-3,dr,dtheta e .
  • vai de até .
  • vai de até .
    A integral fica

Passo 4

Vamos resolver a parte em integralr=1^2 r^-3,dr = integral1^2 r^-3,dr = gl[r^-2-2gr]1^2 = -tfrac12l(r^-2r)|1^2 = -tfrac12l(tfrac12^2-tfrac11^2r) = -tfrac12l(tfrac14-1r) = -tfrac12cdotl(-tfrac34r) = tfrac38 primeiro:

Passo 5

Agora falta a parte em integral0^2pi dtheta ;times; 38 = 2pi;cdot;38 = 3pi4 . Como não depende de , é só multiplicar por :

Resposta

boxed3pi4

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