Calcular os pesos wi e montar, por extenso, a expressão
integrala^b f(x) d x approx sumi=0^n wi f(xi)
para n=1.
Onde xi=a+i h, i=0,1 cdots, n, com h=(b-a) / n, são os pontos de integração e wi é o peso associado ao ponto xi, calculado pela expressão
wi=integrala^b Li(x) d x
onde Li(x) é o polinômio de Lagrange de grau n associado ao ponto xi.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar os pesos integrala^b f(x),dx ;approx; sumi=0^n wi,f(xi) da fórmula
wi ;=; integrala^b Li(x),dx
no caso mais simples . Isso é justamente a regra do trapézio.
Conteúdo: interpolação de Lagrange (polinômios ) e integração.
O que precisamos fazer:
  1. Definir os pontos de integração , .
  2. Montar os polinômios de Lagrange , .
  3. Calcular
  4. Escrever a soma final.

Passo 2

Definindo as coisas:
  • L0(x) ;=; x - x1x0 - x1 = x - ba - b, L1(x) ;=; x - x0x1 - x0 = x - ab - a => só temos e .
  • O passo .
Os polinômios de Lagrange para são:

Passo 3

Agora vamos integrar cada um:
  1. Para w0 ;=; integrala^b L0(x),dx = integrala^b x - ba - b,dx = 1a - bintegrala^b (x - b),dx :
integrala^b (x - b),dx = l[tfracx^22 - b,xr]a^b = l(tfracb^22-b^2r);-;l(tfraca^22-b,ar) = -tfracb^22 - tfraca^22 + a,b = -tfrac(a-b)^22
Calcule o integral interno:
w0 = -tfrac(a-b)^22a-b = (b-a)(a-b)2(a-b) = b-a2
Então
w1 = integrala^b x - ab - a,dx = 1b - aintegrala^b (x - a),dx = 1b - acdot (b-a)^22 = b-a2
  1. Para w0 = w1 = b-a2 :
Ou seja,

Resposta

Os pesos para w0 = b-a2, w1 = b-a2 são
boxed integrala^b f(x),dx ;approx; b-a2,f(a) ;+; b-a2,f(b)
Logo a fórmula de quadratura (regra do trapézio) fica

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