Calcular os pesos wi e montar, por extenso, a expressão
integrala^b f(x) d x approx sumi=0^n wi f(xi)
para n=3.
Onde xi=a+i h, i=0,1 cdots, n, com h=(b-a) / n, são os pontos de integração e wi é o peso associado ao ponto xi, calculado pela expressão
wi=integrala^b Li(x) d x
onde Li(x) é o polinômio de Lagrange de grau n associado ao ponto xi.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar os pesos integrala^b f(x),dx;approx;sumi=0^3 wi,f(xi) da fórmula de Newton–Cotes de grau wi = integrala^b Li(x),dx, e escrever a expressão
onde com , e cada peso é
sendo o polinômio de Lagrange de grau 3 no nó .
Conteúdo: interpolação de Lagrange e regras de Newton–Cotes.

Passo 2

Primeiro definimos os nós e o polinômio de Lagrange:
x0 = a,; x1 = a + h,; x2 = a + 2h,; x3 = a + 3h = b
E cada
Li(x) = prodsubstackj=0jneq i^3 x - xjxi - xj
A ideia é integrar cada de a .

Passo 3

Para simplificar a conta, fazemos a troca de variável
t = x - ah, x = a + t,h, tin[0,3]
Então
wi = integrala^b Li(x),dx = integral0^3 Li(a + th),h,dt = h integral0^3 elli(t),dt,
onde ell0(t)&=(t-1)(t-2)(t-3)(0-1)(0-2)(0-3) =-(t-1)(t-2)(t-3)6, ell1(t)&=t,(t-2)(t-3)(1-0)(1-2)(1-3) =t,(t-2)(t-3)2, ell2(t)&=t,(t-1)(t-3)(2-0)(2-1)(2-3) =-t,(t-1)(t-3)2, ell3(t)&=t,(t-1)(t-2)(3-0)(3-1)(3-2) =t,(t-1)(t-2)6 é o polinômio de Lagrange na escala .
Em temos:

Passo 4

Agora integramos cada integral0^3 ell0(t),dt = -16integral0^3 (t-1)(t-2)(t-3),dt = 38 de integral0^3 ell1(t),dt = 12integral0^3 t(t-2)(t-3),dt = 98 a :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Por simetria (ou calculando igual ao ),
    .
  2. E
    .

Passo 5

Como w0 = 3h8, w1 = 9h8, w2 = 9h8, w3 = 3h8 , obtemos:

Resposta

boxed integrala^b f(x),dx ;approx; 3h8f(a) ;+;9h8f(a+h) ;+;9h8f(a+2h) ;+;3h8f(b), h=b-a3

Exercícios relacionados