Calcular os pesos
e montar, por extenso, a expressão
para
.
Onde
, com
, são os pontos de integração e
é o peso associado ao ponto
, calculado pela expressão
onde
é o polinômio de Lagrange de grau
associado ao ponto
.
Onde
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar os pesos
da fórmula de Newton–Cotes de grau
e escrever a expressão
onde
com
, e cada peso é
sendo
o polinômio de Lagrange de grau 3 no nó
.
Conteúdo: interpolação de Lagrange e regras de Newton–Cotes.
Conteúdo: interpolação de Lagrange e regras de Newton–Cotes.
Passo 2
Primeiro definimos os nós e o polinômio de Lagrange:
E cada
A ideia é integrar cada
de
a
.
Passo 3
Para simplificar a conta, fazemos a troca de variável
Então
onde
é o polinômio de Lagrange na escala
.
Em temos:
Em
Passo 4
Agora integramos cada
de
a
:
- Para
:
- Para
:
- Por simetria (ou calculando igual ao
),
. - E
.
Passo 5
Como
, obtemos: