Considere a função e^-x tabelada nos valores 1, 1.5, 2, 2.5 e 3 e determine o polinômio interpolador na forma de Newton.
Dê uma estimativa para o erro ao calcular o valor aproximado de e^-1,4.

Passo 1

Beleza, aqui a missão é montar o polinômio de interpolação de Newton de grau 4 para a função
f(x)=e^-x
nos pontos
x0=1,;x1=1.5,;x2=2,;x3=2.5,;x4=3
e depois dar uma estimativa do erro ao aproximar f(1.4).
Conteúdo: interpolação de Newton e diferenças divididas, mais o termo de erro (resto) da fórmula de interpolação.

Passo 2

Vamos primeiro tabular f(xi)=e^-xi e calcular as diferenças divididas, que viram os coeficientes do nosso polinômio.
  1. Valores de f:
f(x0)&=e^-1approx0.3678794, f(x1)&=e^-1.5approx0.2231302, f(x2)&=e^-2approx0.1353353, f(x3)&=e^-2.5approx0.0820850, f(x4)&=e^-3approx0.0497871
  1. 1ª diferenças divididas:
f[xi,xi+1] =f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi
Calculando:
f[x0,x1]&=0.22313-0.367880.5=-0.2894984, f[x1,x2]&=0.13534-0.223130.5=-0.1755898, f[x2,x3]&=0.08208-0.135340.5=-0.1065006, f[x3,x4]&=0.04979-0.082080.5=-0.0645958
  1. 2ª diferenças divididas:
f[xi,xi+1,xi+2] =f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi
Como xi+2-xi=1 sempre, ficamos com:
f[x0,x1,x2]&=0.1139086, f[x1,x2,x3]&=0.0690892, f[x2,x3,x4]&=0.0419048
  1. 3ª diferenças divididas:
f[x0,dots,x3] =0.0690892-0.11390862.5-1=-0.0298796, f[x1,dots,x4] =0.0419048-0.06908923-1.5=-0.0181229
  1. 4ª diferença dividida:
f[x0,dots,x4] =-0.0181229 - (-0.0298796)3-1 =0.00587835

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio de Newton de grau 4:
P4(x)= f[x0] +f[x0,x1](x-1) +f[x0,x1,x2](x-1)(x-1.5) +f[x0,dots,x3](x-1)(x-1.5)(x-2) +f[x0,dots,x4](x-1)(x-1.5)(x-2)(x-2.5)
Substituindo os coeficientes numéricos:
P4(x)approx 0.3678794 -0.2894984,(x-1) +0.1139086,(x-1)(x-1.5) -0.0298796,(x-1)(x-1.5)(x-2) +0.00587835,(x-1)(x-1.5)(x-2)(x-2.5)

Passo 4

Para estimar o erro usamos o termo de resto da interpolação de Newton:
R4(x) =f^(5)(xi)5!,(x-1)(x-1.5)(x-2)(x-2.5)(x-3),
onde f^(5)(t)=(-1)^5e^-t=-e^-t.
No intervalo [1,3] temos |f^(5)(xi)|<= e^-1approx0.3679 e 5!=120.
Em x=1.4 o produto fica
|(1.4-1)(1.4-1.5)(1.4-2)(1.4-2.5)(1.4-3)| =0.04224,
logo
|R4(1.4)|<=0.3679120times0.04224 approx1.3times10^-4

Resposta

O polinômio de Newton é
boxed P4(x)= 0.3678794 -0.2894984,(x-1) +0.1139086,(x-1)(x-1.5) -0.0298796,(x-1)(x-1.5)(x-2) +0.00587835,(x-1)(x-1.5)(x-2)(x-2.5)
e a estimativa de erro em x=1.4 é
|f(1.4)-P4(1.4)|<=1.3times10^-4

Exercícios relacionados