Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.
x1+2 x2+3 x3+4 x^4 & =10 2 x1+x2+2 x3+3 x^4 & =7 3 x1-2 x2+x3+2 x^4 & =6 4 x1+3 x2+x3+x4 & =3

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas usando o método de eliminação de Gauss. O conteúdo aqui é Sistemas Lineares e Operações Elementares de Linha (trocar linhas, multiplicar por escalar, somar múltiplos de linhas). Vamos montar a matriz aumentada e zerar, etapa por etapa, tudo que estiver abaixo dos pivôs até chegar numa matriz triangular superior. Aí é só fazer substituição pra trás.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 10 2 & 1 & 2 & 3 & 7 3 & -2 & 1 & 2 & 6 4 & 3 & 1 & 1 & 3 ]
Operações de linha não mudam a solução: podemos trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar ≠0 ou somar múltiplos de uma linha em outra. O objetivo agora é zerar todo mundo na coluna 1, abaixo do pivô 1 (que está em posição (1,1)).

Passo 3

Eliminação na coluna 1:
– R₂ ← R₂ – 2·R₁
– R₃ ← R₃ – 3·R₁
– R₄ ← R₄ – 4·R₁
Isso dá
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 10 0 & -3 & -4 & -5 & -13 0 & -8 & -8 & -10 & -24 0 & -5 & -11 & -15 & -37 ]

Passo 4

Agora o pivô é -3 (posição (2,2)). Vamos zerar embaixo:
– R₃ ← R₃ – [cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 10 0 & -3 & -4 & -5 & -13 0 & 0 & tfrac83 & tfrac103 & tfrac323 0 & 0 & -tfrac133 & -tfrac203 & -tfrac463 ] ·R₂
– R₄ ← R₄ – ·R₂
Fica

Passo 5

Terceiro pivô é [cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 10 0 & -3 & -4 & -5 & -13 0 & 0 & tfrac83 & tfrac103 & tfrac323 0 & 0 & 0 & -tfrac154 & 6 ] (na linha 3, coluna 3). Zera em baixo:
– R₄ ← R₄ + ·R₃
Isso elimina a coluna 3 na linha 4 e dá
Agora temos matriz triangular superior!

Passo 6

Substituição pra trás (back‐substitution):
  1. Da última linha:
  2. Da linha 3:

  3. Da linha 2:


  4. Da linha 1:




Resposta

(x1,x2,x3,x4)=l(tfrac25,,-1,,6,,-tfrac85r)

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