Calcular os pesos wi e montar, por extenso, a expressão
integrala^b f(x) d x approx sumi=0^n wi f(xi)
para n=2.
Onde xi=a+i h, i=0,1 cdots, n, com h=(b-a) / n, são os pontos de integração e wi é o peso associado ao ponto xi, calculado pela expressão
wi=integrala^b Li(x) d x
onde Li(x) é o polinômio de Lagrange de grau n associado ao ponto xi.

Passo 1

Beleza, resumindo o que a gente tem aqui:
– Conteúdo: quadratura numérica pelo polinômio de Lagrange (regra de Newton–Cotes fechada para wi = integrala^b Li(x),dx ).
– O que precisamos:
  1. Definir os pontos de integração integrala^b f(x),dx approx sumi=0^2 wi,f(xi) e o passo .
  2. Escrever os polinômios de Lagrange .
  3. Calcular cada peso
  4. Montar a soma

Passo 2

Definindo os pontos e o passo:
n=2, h=b-a2, x0=a,;x1=a+h,;x2=a+2h=b
Ou seja, dividimos o intervalo em 2 pedaços iguais de tamanho .

Passo 3

Construindo os polinômios de Lagrange de grau 2:
Para cada Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj ,
L0(x)&=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-(a+h))(x-(a+2h))(-h)(-2h) =(x-(a+h))(x-(a+2h))2h^2, L1(x)&=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) =(x-a)(x-(a+2h))h(-h) =-(x-a)(x-(a+2h))h^2, L2(x)&=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) =(x-a)(x-(a+h))2h^2
Em especial:

Passo 4

Calculando L0(x)=(t-h)(t-2h)2h^2, dx=dt .
Para facilitar, faça a mudança w0 =integrala^b L0(x),dx =12h^2integral0^2h(t-h)(t-2h),dt =12h^2![tfract^33-tfrac3h,t^22+2h^2,t]0^2h =12h^2cdot2h^33 =h3 , então e
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Passo 5

Por simetria e pela soma total dos pesos:
w2 = w0 = h3, w0+w1+w2 = b-a = 2h ;Longrightarrow; w1 = 2h - 2!(tfrach3) = 4h3

Passo 6

Com tudo isso, a soma fica
integrala^b f(x),dx approx w0,f(x0)+w1,f(x1)+w2,f(x2) =h3,f(a) +4h3,f(a+h) +h3,f(b)

Resposta

Pesos:
w0 = h3, w1 = 4h3, w2 = h3, h=b-a2
Expressão final:
boxed integrala^b f(x),dx ;approx; h3,l[f(a)+4,f(a+h)+f(b)r] (regra de Simpson / NewtonCotes para (n=2))

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