Considerando o sistema de equações lineares a seguir, utilize os métodos de Jacobi e GaussSeidel e determine as 4 primeiras iterações, considerando 2 casas decimais com arredondamento.
rll 8 x1+2 x2-x3 & =1 2 x1-4 x2 & =1 & -x2+8 x3-x4 & =1 & -x3+4 x4 & =1

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema de 4 equações lineares e precisamos aplicar dois métodos iterativos da Numérica: Jacobi e Gauss–Seidel. O objetivo é obter as quatro primeiras aproximações (iterações) para o vetor , arredondando cada componente com 2 casas decimais. Para isso, vamos isolar cada variável em cada equação, escolher um chute inicial (vamos usar ) e em seguida iterar conforme as regras de cada método.
Conteúdo envolvido:
  • Métodos iterativos de resolução de sistemas lineares (Jacobi e Gauss–Seidel).
  • Condição de convergência (dominância diagonal do sistema).
  • Arredondamento em cada etapa.

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada equação isolando 8x1 +2x2 -x3 =1 2x1 -4x2 =1 -x2 +8x3 -x4 =1 -x3 +4x4 =1 .
Sistema original:
x1 &= 1 -2x2 + x38, x2 &= 2x1 -14, x3 &= 1 + x2 + x48, x4 &= 1 + x34
Isolando:
Antes de tudo, vale dizer:
  • No método de Jacobi, a cada iteração você calcula todos os usando só os valores da iteração .
  • No Gauss–Seidel, você já vai atualizando dentro da mesma iteração, ou seja, assim que calcula , usa ele pra achar , e assim por diante.

Passo 3

Método de Jacobi – Iteração 1 ( x1^(1) &= 1 -2cdot0 +08 = 0.125 longrightarrow 0.12, x2^(1) &= 2cdot0 -14 = -0.25, x3^(1) &= 1 +0 +08 = 0.125 longrightarrow 0.12, x4^(1) &= 1 +04 = 0.25 ), com chute x^(1)Jacobi = (0.12,,-0.25, 0.12, 0.25) :
Logo

Passo 4

Jacobi – Iteração 2 ( x1^(2) &= 1 -2(-0.25) +0.128 = 1+0.5+0.128=0.2025 to 0.20, x2^(2) &= 2cdot0.12 -14 = -0.764=-0.19, x3^(2) &= 1 +(-0.25)+0.258 = 18=0.125 to 0.12, x4^(2) &= 1 +0.124 =0.28 ), usando x^(2)Jacobi = (0.20,,-0.19, 0.12, 0.28) :
Então

Passo 5

Jacobi – Iteração 3 ( x1^(3) &= 1 -2(-0.19) +0.128 = 1+0.38+0.128=0.1875 to 0.19, x2^(3) &= 2cdot0.20 -14 = -0.604=-0.15, x3^(3) &= 1 +(-0.19)+0.288 = 1.098=0.13625 to 0.14, x4^(3) &= 1 +0.124 =0.28 ):
x^(3)Jacobi = (0.19,,-0.15, 0.14, 0.28)
Logo

Passo 6

Jacobi – Iteração 4 ( x1^(4) &= 1 -2(-0.15) +0.148 = 1+0.30+0.148=0.18, x2^(4) &= 2cdot0.19 -14 = -0.624=-0.155 to -0.16, x3^(4) &= 1 +(-0.15)+0.288 = 1.138=0.14125 to 0.14, x4^(4) &= 1 +0.144 =0.285 to 0.29 ):
x^(4)Jacobi = (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29)
Então

Passo 7

Método de Gauss–Seidel – ideia rápida: aqui, dentro da mesma iteração, assim que eu calculo já uso esse valor ao calcular , e assim sucessivamente. Vamos repetir as 4 iterações.
Chute inicial de novo: .

Passo 8

GS – Iteração 1 ( x1^(1) &= 1 -2cdot0 +08 =0.125 to 0.12, x2^(1) &= 2cdot0.12 -14 = -0.764=-0.19, x3^(1) &= 1 +(-0.19) +08 =0.818=0.10125 to 0.10, x4^(1) &= 1 +0.104 =0.275 to 0.28 ):
x^(1)GS = (0.12,,-0.19, 0.10, 0.28)

Passo 9

GS – Iteração 2 ( x1^(2) &= 1 -2(-0.19) +0.108 =1+0.38+0.108=0.185 to 0.19, x2^(2) &= 2cdot0.19 -14 =-0.16, x3^(2) &= 1 +(-0.16) +0.288 =1.128=0.14, x4^(2) &= 1 +0.144 =0.285 to 0.29 ):
x^(2)GS = (0.19,,-0.16, 0.14, 0.29)

Passo 10

GS – Iteração 3 ( x1^(3) &= 1 -2(-0.16) +0.148 =1+0.32+0.148=0.1825 to 0.18, x2^(3) &= 2cdot0.18 -14 =-0.16, x3^(3) &= 1 +(-0.16) +0.298 =1.138=0.14125 to 0.14, x4^(3) &= 1 +0.144 =0.285 to 0.29 ):
x^(3)GS = (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29)

Passo 11

GS – Iteração 4 ( x^(4)GS = (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29) ): vai dar igual à anterior pois já “estabilizou” no nível de 2 casas:

Resposta

As quatro primeiras iterações, arredondadas a 2 casas decimais, são:
Método de Jacobi:
x^(1) &= (0.12,,-0.25, 0.12, 0.25), x^(2) &= (0.20,,-0.19, 0.12, 0.28), x^(3) &= (0.19,,-0.15, 0.14, 0.28), x^(4) &= (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29)
Método de Gauss–Seidel:
x^(1) &= (0.12,,-0.19, 0.10, 0.28), x^(2) &= (0.19,,-0.16, 0.14, 0.29), x^(3) &= (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29), x^(4) &= (0.18,,-0.16, 0.14, 0.29)

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