Calcular a raiz da função f(x)=3 x-cos x, pelo método da Secante, com x0=0 e x1=0,5 e o erro <= 10^-4. Efetue os cálculos com cinco casas decimais com arredondamento.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer achar a raiz da função
f(x)=3x-cos x
usando o método da Secante, com chutes iniciais
x0=0, x1=0.5
e tolerância de erro
|xn-xn-1|<=10^-4
O que precisamos saber:
- O que é o método da Secante (ele aproxima a derivada por diferença das imagens).
- A fórmula de iteração da Secante:
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1,f(xn)-f(xn-1),
  • Arredondar cada xn e cada f(xn) a 5 casas decimais.

Passo 2

Vamos calcular primeiro as imagens iniciais:
f(x)=3x-cos x
- Para x0=0:
f(0)=3cdot0-cos(0)=0-1=-1.00000
  • Para x1=0.50000:$$\cos(0.5)\approx0.87758\quad\Rightarrow\quadf(0.5)=1.50000-0.87758=0.62242.$$

Passo 3

Aplicando a fórmula da Secante para achar x2:
x2 = x1 - f(x1),x1-x0f(x1)-f(x0)
Substituindo:
$$x_2 = 0.50000 - 0.62242,
\frac{0.50000-0}{0.62242 - (-1.00000)}
=0.50000 - 0.31121/1.62242
=0.30823.$$

Passo 4

Agora f(x2) e x3:
  • f(0.30823)=3cdot0.30823-cos(0.30823) =0.92469-0.95287=-0.02818
  • Secante de novo: x3 = 0.30823 - (-0.02818), 0.30823-0.50000-0.02818-0.62242 =0.31653

Passo 5

Calcular f(x3) e x4:
  • f(0.31653)=0.94959-cos(0.31653) =0.94959-0.95032=-0.00073
  • Secante: x4 = 0.31653 - (-0.00073), 0.31653-0.30823-0.00073 -(-0.02818) =0.31675

Passo 6

Mais uma iteração para garantir a tolerância:
  • f(0.31675)=0.95025-cos(0.31675) =0.95025-0.95024=0.00001
  • Secante: x5 = 0.31675 - 0.00001, 0.31675-0.316530.00001 -(-0.00073) approx0.31675
Diferença |x5-x4|approx2times10^-6<10^-4, parámos aqui.

Resposta

A raiz aproximada, com |xn-xn-1|<=10^-4 e 5 casas, é
boxed0.31675

Exercícios relacionados