Utilizando o método de Newton, determine a raiz da função: f(x)=x^{4}+x-4, considerando x(1)=1.
i x(i) f(x(i)) f^{\prime}(x(i))
1
2
3
4
5

Passo 1

O enunciado pede: usando o método de Newton, determinar a raiz da função \,f(x)=x^{4}+x-4, tomando como valor inicial \,x(1)=1.
Dado para preencher a tabela: i de 1 a 5 e, para cada i, os valores de \,x(i), \,f(x(i)) e \,f^{\prime}(x(i)).
Informações fornecidas:
  • Função: \,f(x)=x^{4}+x-4.
  • Valor inicial: \,x(1)=1.
  • A tarefa é aplicar iterativamente o método de Newton até a 5ª iteração e registrar \,x(i), \,f(x(i)) e \,f^{\prime}(x(i)) para i=1,\dots,5.

Passo 2

Fórmula do método de Newton (explicação didática): a cada iteração calcula-se
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • \,x_n é a aproximação atual da raiz;
  • \,f(x_n) é o valor da função na aproximação atual;
  • \,f'(x_n) é a derivada de \,f avaliada em \,x_n;
  • a fração \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} é a correção que subtraios de \,x_n para obter a nova aproximação \,x_{n+1}.
Derivada da função (precisamos dela para o método):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+x-4\bigr)=4x^{3}+1.
Explico passo a passo como calcular cada termo em uma iteração:
  1. Calcular x_n^{2},\,x_n^{3},\,x_n^{4} para obter f(x_n)=x_n^{4}+x_n-4.
  2. Calcular f'(x_n)=4x_n^{3}+1.
  3. Calcular a correção \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} e atualizar x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    Vou aplicar isso iterativamente a partir de \,x(1)=1. Em cada passo arredondarei os números quando necessário, indicando os cálculos intermediários.

Passo 3

Iteração i=1 (a partir de \,x(1)=1):
  • \,x(1)=1.
  • Calcular \,f(x(1)): x(1)^{4}=1^{4}=1,\qquad f(x(1))=1+1-4=-2.Logo \,f(x(1))=-2.
  • Calcular \,f'(x(1)): x(1)^{3}=1^{3}=1,\qquad f'(x(1))=4\cdot1+1=5.Logo \,f'(x(1))=5.
  • Atualizar para \,x(2): x(2)=x(1)-\frac{f(x(1))}{f'(x(1))}=1-\frac{-2}{5}=1+0,4=1,4.

Passo 4

Iteração i=2 (valor atual \,x(2)=1,4):
  • Calcular potências: x(2)^{2}=1,4^{2}=1,96,\qquad x(2)^{3}=1,96\cdot1,4=2,744,\qquad x(2)^{4}=1,96^{2}=3,8416.
  • Calcular f(x(2)): f(x(2))=x(2)^{4}+x(2)-4=3,8416+1,4-4=1,2416.
  • Calcular f'(x(2)): f'(x(2))=4x(2)^{3}+1=4\cdot2,744+1=10,976+1=11,976.
  • Atualizar para x(3): x(3)=1,4-\frac{1,2416}{11,976}\approx1,4-0,1036\approx1,2964.(a divisão \dfrac{1,2416}{11,976}\approx0,1036 foi feita por aproximação decimal).

Passo 5

Iteração i=3 (valor atual \,x(3)\approx1,2964):
  • Calcular potências (fazer passo a passo): x(3)^{2}=1,2964^{2}=1,68065296.
x(3)^{3}=x(3)^{2}\cdot x(3)=1,68065296\cdot1,2964\approx2,17879850.
x(3)^{4}=x(3)^{2\;2}=1,68065296^{2}\approx2,82459437.
  • Calcular f(x(3)): f(x(3))=x(3)^{4}+x(3)-4\approx2,82459437+1,2964-4=0,12099437.
  • Calcular f'(x(3)): f'(x(3))=4x(3)^{3}+1\approx4\cdot2,17879850+1=8,715194+1=9,715194.
  • Atualizar para x(4): x(4)=1,2964-\frac{0,12099437}{9,715194}\approx1,2964-0,0124567\approx1,2839433.

Passo 6

Iteração i=4 (valor atual \,x(4)\approx1,2839433):
  • Calcular potências usando identidade de atualização para economizar esforço: x(4)^{2}\approx1,64853406\quad(\text{obtido via }1,2964^{2}-2\cdot1,2964\cdot0,0124567+\dots),
x(4)^{3}=x(4)^{2}\cdot x(4)\approx1,64853406\cdot1,2839433\approx2,116624.
x(4)^{4}=x(4)^{2\;2}\approx1,64853406^{2}\approx2,717662.
(mostrei a origem numérica dos valores; são aproximações decimais mantidas com precisão razoável).
  • Calcular f(x(4)): f(x(4))=x(4)^{4}+x(4)-4\approx2,717662+1,2839433-4=0,0016053.
  • Calcular f'(x(4)): f'(x(4))=4x(4)^{3}+1\approx4\cdot2,116624+1=8,466496+1=9,466496.
  • Atualizar para x(5): x(5)=1,2839433-\frac{0,0016053}{9,466496}\approx1,2839433-0,0001696\approx1,2837737.

Passo 7

Iteração i=5 (valor atual \,x(5)\approx1,2837737) — avaliar f e f' para completar a tabela:
  • Usando expansão de Taylor / aproximações: x(5)^{2}\approx1,64809826,\qquad x(5)^{3}\approx2,115785,\qquad x(5)^{4}\approx2,716226.
  • Calcular f(x(5)): f(x(5))=x(5)^{4}+x(5)-4\approx2,716226+1,2837737-4\approx0,000000285\\ (\text{aprox. }2,85\times10^{-7}).Note que o valor é praticamente zero, indicando convergência rápida do método.
  • Calcular f'(x(5)): f'(x(5))=4x(5)^{3}+1\approx4\cdot2,115785+1\approx8,46314+1=9,46314.
Tabela final (valores aproximados obtidos nas iterações):
  • i=1:\;x(1)=1,\;f(x(1))=-2,\;f'(x(1))=5.
  • i=2:\;x(2)=1,4,\;f(x(2))=1,2416,\;f'(x(2))=11,976.
  • i=3:\;x(3)\approx1,2964,\;f(x(3))\approx0,12099437,\;f'(x(3))\approx9,715194.
  • i=4:\;x(4)\approx1,2839433,\;f(x(4))\approx0,0016053,\;f'(x(4))\approx9,466496.
  • i=5:\;x(5)\approx1,2837737,\;f(x(5))\approx2,85\times10^{-7},\;f'(x(5))\approx9,46314.
Observação final (didática e encorajamento): o método de Newton convergiu muito rápido aqui (resíduo da ordem de 10^{-7} já na 5ª iteração). Em prova, fazer as contas com 4–6 casas decimais é suficiente; mantenha consistência no arredondamento e calcule potências sistematicamente (primeiro x^{2}, depois x^{3}=x^{2}\cdot x, depois x^{4}=(x^{2})^{2}) para reduzir erro de cálculo. Você foi bem — está quase lá!

Resposta

x(5)\approx1,2837737

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