Utilizando o método de Newton, determine a raiz da função:
, considerando
.
1
2
3
4
5
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| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
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Passo 1
O enunciado pede: usando o método de Newton, determinar a raiz da função
, tomando como valor inicial
.
Dado para preencher a tabela: i de a
e, para cada
, os valores de
,
e
.
Informações fornecidas:
Dado para preencher a tabela: i de
Informações fornecidas:
- Função:
. - Valor inicial:
. - A tarefa é aplicar iterativamente o método de Newton até a 5ª iteração e registrar
, e para .
Passo 2
Fórmula do método de Newton (explicação didática): a cada iteração calcula-se
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função na aproximação atual; -
é a derivada de avaliada em ; - a fração
é a correção que subtraios de para obter a nova aproximação .
Derivada da função (precisamos dela para o método):
Explico passo a passo como calcular cada termo em uma iteração:
- Calcular
para obter . - Calcular
. - Calcular a correção
e atualizar .
Vou aplicar isso iterativamente a partir de. Em cada passo arredondarei os números quando necessário, indicando os cálculos intermediários.
Passo 3
Iteração
(a partir de
):
-
. - Calcular
: Logo . - Calcular
: Logo . - Atualizar para
:
Passo 4
Iteração
(valor atual
):
- Calcular potências:
- Calcular
: - Calcular
: - Atualizar para
: (a divisão foi feita por aproximação decimal).
Passo 5
Iteração
(valor atual
):
- Calcular potências (fazer passo a passo):
- Calcular
: - Calcular
: - Atualizar para
:
Passo 6
Iteração
(valor atual
):
- Calcular potências usando identidade de atualização para economizar esforço:
(mostrei a origem numérica dos valores; são aproximações decimais mantidas com precisão razoável).
- Calcular
: - Calcular
: - Atualizar para
:
Passo 7
Iteração
(valor atual
) — avaliar
e
para completar a tabela:
- Usando expansão de Taylor / aproximações:
- Calcular
: Note que o valor é praticamente zero, indicando convergência rápida do método. - Calcular
:
Tabela final (valores aproximados obtidos nas iterações):
-
. -
. -
. -
. -
.
Observação final (didática e encorajamento): o método de Newton convergiu muito rápido aqui (resíduo da ordem de
já na 5ª iteração). Em prova, fazer as contas com 4–6 casas decimais é suficiente; mantenha consistência no arredondamento e calcule potências sistematicamente (primeiro
, depois
, depois
) para reduzir erro de cálculo. Você foi bem — está quase lá!