Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais: x_{1}(0)=x_{2}(0)=x_{3}(0)=0.
\begin{aligned} & x_{1}-3 x_{2}+6 x_{3}=3 \\\ & 6 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=5 \\\ & -x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=7 \end{aligned}
x_{1}^{0}=0 x_{2}^{0}=0 x_{3}^{0}=0 \beta_{1}=
x_{1}^{1}= x_{2}^{1}= x_{3}^{1}= \beta_{2}=
x_{1}^{2}= x_{2}^{2}= x_{3}^{2}= \beta_{3}=
x_{1}^{3}= x_{2}^{3}= x_{3}^{3}=

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede aplicar o método de Gauss–Jacobi com condições iniciais x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}=0. Dados do problema:
\begin{aligned} & x_{1}-3 x_{2}+6 x_{3}=3,\\\ & 6 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=5,\\\ & -x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=7. \end{aligned}
O que se pede (conforme a tabela fornecida):
  • calcular x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},x_{3}^{(1)};
  • calcular x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},x_{3}^{(2)};
  • calcular x_{1}^{(3)},x_{2}^{(3)},x_{3}^{(3)};
  • preencher os valores \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} (aqui vamos usar \beta_{k}=\max_{i}|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}|, ou seja a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas, que é uma escolha comum para medir o passo).

Passo 2

Vou montar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Jacobi. A ideia do Jacobi é isolar cada incógnita na sua equação usando apenas os valores da iteração anterior para as outras incógnitas.
Isolando cada variável nas equações:
\begin{aligned} & x_{1}=3+3x_{2}-6x_{3},\\\ & x_{2}=\tfrac{1}{2}\bigl(5-6x_{1}-x_{3}\bigr),\\\ & x_{3}=\tfrac{1}{2}\bigl(7+x_{1}-5x_{2}\bigr). \end{aligned}
As fórmulas de iteração (onde o índice k indica a iteração) ficam:
\begin{aligned} & x_{1}^{(k+1)}=3+3x_{2}^{(k)}-6x_{3}^{(k)},\\\ & x_{2}^{(k+1)}=\tfrac{1}{2}\bigl(5-6x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),\\\ & x_{3}^{(k+1)}=\tfrac{1}{2}\bigl(7+x_{1}^{(k)}-5x_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Explicando rápido: para obter x^{(k+1)} usa-se apenas os componentes de x^{(k)}. Isso diferencia Jacobi de Gauss–Seidel (onde se usam componentes já atualizadas dentro da mesma iteração).

Passo 3

Cálculo da primeira iteração x^{(1)} a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
Aplicando as fórmulas com x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}=0:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=3+3\cdot 0-6\cdot 0=3,\\\ x_{2}^{(1)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(5-6\cdot 0-0\bigr)=\tfrac{5}{2}=2,5,\\\ x_{3}^{(1)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(7+0-5\cdot 0\bigr)=\tfrac{7}{2}=3,5. \end{aligned}
Agora calculo \beta_{1}=\max_{i}|x_{i}^{(1)}-x_{i}^{(0)}|:
\beta_{1}=\max\{ |3-0|,\;|2,5-0|,\;|3,5-0|\} = 3,5.

Passo 4

Cálculo da segunda iteração x^{(2)} usando x^{(1)}.
Usando as fórmulas com x^{(1)}=(3,\;2,5,\;3,5):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=3+3\cdot 2,5-6\cdot 3,5 =3+7,5-21=-10,5,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(5-6\cdot 3-3,5\bigr) =\tfrac{1}{2}(5-18-3,5)=\tfrac{1}{2}(-16,5)=-8,25,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(7+3-5\cdot 2,5\bigr) =\tfrac{1}{2}(10-12,5)=\tfrac{1}{2}(-2,5)=-1,25. \end{aligned}
Agora \beta_{2}=\max_{i}|x_{i}^{(2)}-x_{i}^{(1)}|:
\begin{aligned} |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|&=|-10,5-3|=13,5,\\\ |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|&=|-8,25-2,5|=10,75,\\\ |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}|&=|-1,25-3,5|=4,75, \end{aligned}
logo \beta_{2}=13,5.]

Passo 5

Cálculo da terceira iteração x^{(3)} usando x^{(2)}.
Com x^{(2)}=(-10,5,\,-8,25,\,-1,25):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=3+3(-8,25)-6(-1,25) =3-24,75+7,5=-14,25,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(5-6(-10,5)-(-1,25)\bigr) =\tfrac{1}{2}(5+63+1,25)=\tfrac{1}{2}(69,25)=34,625,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(7+(-10,5)-5(-8,25)\bigr) =\tfrac{1}{2}(7-10,5+41,25)=\tfrac{1}{2}(37,75)=18,875. \end{aligned}
Agora \beta_{3}=\max_{i}|x_{i}^{(3)}-x_{i}^{(2)}|:
\begin{aligned} |x_{1}^{(3)}-x_{1}^{(2)}|&=|-14,25-(-10,5)|=3,75,\\\ |x_{2}^{(3)}-x_{2}^{(2)}|&=|34,625-(-8,25)|=42,875,\\\ |x_{3}^{(3)}-x_{3}^{(2)}|&=|18,875-(-1,25)|=20,125, \end{aligned}
logo \beta_{3}=42,875.]

Passo 6

Interpretação rápida dos resultados (dica prática para prova):
  • Os valores das diferenças ( \beta) cresceram bastante ( \beta_{1}=3,5, \beta_{2}=13,5, \beta_{3}=42,875), ou seja as iterações estão escapando — o método de Jacobi está divergindo neste sistema com a inicialização dada.
  • Uma verificação rápida: a matriz do sistema não é estritamente diagonalmente dominante (cada linha tem soma dos módulos dos off-diagonais maior que o módulo do diagonal), o que já indica que não se pode garantir convergência de Jacobi. Além disso, a norma infinito da matriz de iteração é grande, o que explica a divergência observada.
Força aí — para resolver pela prova: monte as fórmulas de iteração isolando cada incógnita, calcule poucas iterações com cuidado (como fiz acima) e olhe as diferenças entre iterações; se crescem, o método está divergindo.

Resposta

x_{1}^{0}=0,\; x_{2}^{0}=0,\; x_{3}^{0}=0,\; \beta_{1}=3,5
x_{1}^{1}=3,\; x_{2}^{1}=2,5,\; x_{3}^{1}=3,5,\; \beta_{2}=13,5
x_{1}^{2}=-10,5,\; x_{2}^{2}=-8,25,\; x_{3}^{2}=-1,25,\; \beta_{3}=42,875
x_{1}^{3}=-14,25,\; x_{2}^{3}=34,625,\; x_{3}^{3}=18,875

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