Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi considerando as condições iniciais:
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Passo 1
O enunciado dá o sistema linear e pede aplicar o método de Gauss–Jacobi com condições iniciais
. Dados do problema:
O que se pede (conforme a tabela fornecida):
- calcular
; - calcular
; - calcular
; - preencher os valores
(aqui vamos usar , ou seja a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas, que é uma escolha comum para medir o passo).
Passo 2
Vou montar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Jacobi. A ideia do Jacobi é isolar cada incógnita na sua equação usando apenas os valores da iteração anterior para as outras incógnitas.
Isolando cada variável nas equações:
As fórmulas de iteração (onde o índice
indica a iteração) ficam:
Explicando rápido: para obter
usa-se apenas os componentes de
. Isso diferencia Jacobi de Gauss–Seidel (onde se usam componentes já atualizadas dentro da mesma iteração).
Passo 3
Cálculo da primeira iteração
a partir de
.
Aplicando as fórmulas com
:
Agora calculo
:
Passo 4
Cálculo da segunda iteração
usando
.
Usando as fórmulas com
:
Agora
:
logo
.]
Passo 5
Cálculo da terceira iteração
usando
.
Com
:
Agora
:
logo
.]
Passo 6
Interpretação rápida dos resultados (dica prática para prova):
- Os valores das diferenças (
) cresceram bastante ( , , ), ou seja as iterações estão escapando — o método de Jacobi está divergindo neste sistema com a inicialização dada. - Uma verificação rápida: a matriz do sistema não é estritamente diagonalmente dominante (cada linha tem soma dos módulos dos off-diagonais maior que o módulo do diagonal), o que já indica que não se pode garantir convergência de Jacobi. Além disso, a norma infinito da matriz de iteração é grande, o que explica a divergência observada.
Força aí — para resolver pela prova: monte as fórmulas de iteração isolando cada incógnita, calcule poucas iterações com cuidado (como fiz acima) e olhe as diferenças entre iterações; se crescem, o método está divergindo.