Calcular as raízes da equação x^{2}+75 x+3=0 com precisão de três dígitos significativos e arredondamento por corte.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as raízes da equação x^{2}+75x+3=0 e que apresente os resultados com precisão de três dígitos significativos, usando arredondamento por corte (truncamento).
Informações dadas:
  • Coeficientes: a=1, b=75, c=3.
  • Objetivo: encontrar as duas raízes e entregá‑las com três dígitos significativos por corte.

Passo 2

Fórmula geral e conceitos importantes (explicação didática):
Para uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 as raízes são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a, b, c são os coeficientes da equação; \sqrt{\Delta} é a raiz quadrada do discriminante.
Observação numérica importante (por que isso importa na prova): quando |b| é grande e \sqrt{\Delta} é quase igual a |b|, a subtração -b+\sqrt{\Delta} ou -b-\sqrt{\Delta} pode envolver a diferença de dois números grandes, causando perda de precisão (chamada de cancelamento numérico). Para evitar isso, usa‑se uma forma alternativa estável: calcular
q=-\tfrac{1}{2}\bigl(b+\operatorname{sgn}(b)\sqrt{\Delta}\bigr),
e então as raízes são
x_{1}=\frac{q}{a},\qquad x_{2}=\frac{c}{q}.
Explicando: \operatorname{sgn}(b) é o sinal de b (+1 se b>0, -1 se b<0). Essa técnica evita subtrair dois números quase iguais e preserva dígitos significativos.

Passo 3

Calcular o discriminante e sua raiz:
\Delta=b^{2}-4ac=75^{2}-4\cdot1\cdot3=5625-12=5613.
Agora calcular \sqrt{\Delta}=\sqrt{5613}. Uma boa aproximação (feito passo a passo):
  • Estimativa inicial: 74{,}92^{2}=5613{,}0064 (ligeiramente maior que 5613).
  • Usando correção de Newton: se s_{0}=74{,}92, então
s_{1}=s_{0}-\frac{s_{0}^{2}-5613}{2s_{0}} =74{,}92-\frac{0{,}0064}{2\cdot74{,}92}\approx74{,}92-0{,}0000427\approx74{,}9199573.
Portanto
\sqrt{\Delta}\approx74{,}9199573.

Passo 4

Aplicando a fórmula estável (para evitar cancelamento):
  • Aqui b=75>0, então \operatorname{sgn}(b)=+1. Calcula‑se
q=-\tfrac{1}{2}\bigl(b+\sqrt{\Delta}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\bigl(75+74{,}9199573\bigr)=-\tfrac{1}{2}\cdot149{,}9199573\approx-74{,}95997865.
Como a=1, as raízes são
x_{1}=\frac{q}{a}=q\approx-74{,}95997865,
x_{2}=\frac{c}{q}=\frac{3}{-74{,}95997865}\approx-0{,}04002135.
(Vale notar que se tivéssemos usado diretamente \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} para a raiz pequena obteríamos uma subtração de números próximos e perderíamos precisão; por isso escolhemos a forma com q.)

Passo 5

Passar para três dígitos significativos por corte (truncamento):
Regra: contar três dígitos significativos a partir do primeiro dígito não nulo e cortar (não arredondar). Fazer em notação científica para ficar claro e depois em decimal.
  • Para x_{2}\approx-0{,}04002135:
    Escrever em notação científica: x_{2}\approx-4{,}002135\times10^{-2}. Truncando para 3 dígitos significativos dá -4{,}00\times10^{-2}, que em decimal é
x_{2}\approx-0{,}0400.
(Os três dígitos significativos são 4,0,0.)
  • Para x_{1}\approx-74{,}95997865:
    Escrever em notação científica: x_{1}\approx-7{,}495997865\times10^{1}. Truncando para 3 dígitos significativos dá -7{,}49\times10^{1}, que em decimal é
x_{1}\approx-74{,}9.
(Os três dígitos significativos são 7,4,9.)

Resposta

-0{,}0400
-74{,}9

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