Calcular as raízes da equação
com precisão de três dígitos significativos e arredondamento por corte.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as raízes da equação
e que apresente os resultados com precisão de três dígitos significativos, usando arredondamento por corte (truncamento).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Coeficientes:
, , . - Objetivo: encontrar as duas raízes e entregá‑las com três dígitos significativos por corte.
Passo 2
Fórmula geral e conceitos importantes (explicação didática):
Para uma equação quadrática as raízes são dadas pela fórmula quadrática
Para uma equação quadrática
onde
é o discriminante
Aqui
,
,
são os coeficientes da equação;
é a raiz quadrada do discriminante.
Observação numérica importante (por que isso importa na prova): quando é grande e
é quase igual a
, a subtração
ou
pode envolver a diferença de dois números grandes, causando perda de precisão (chamada de cancelamento numérico). Para evitar isso, usa‑se uma forma alternativa estável: calcular
Observação numérica importante (por que isso importa na prova): quando
e então as raízes são
Explicando:
é o sinal de
(+1 se
, -1 se
). Essa técnica evita subtrair dois números quase iguais e preserva dígitos significativos.
Passo 3
Calcular o discriminante e sua raiz:
Agora calcular
. Uma boa aproximação (feito passo a passo):
- Estimativa inicial:
(ligeiramente maior que ). - Usando correção de Newton: se
, então
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula estável (para evitar cancelamento):
- Aqui
, então . Calcula‑se
Como
, as raízes são
(Vale notar que se tivéssemos usado diretamente
para a raiz pequena obteríamos uma subtração de números próximos e perderíamos precisão; por isso escolhemos a forma com
.)
Passo 5
Passar para três dígitos significativos por corte (truncamento):
Regra: contar três dígitos significativos a partir do primeiro dígito não nulo e cortar (não arredondar). Fazer em notação científica para ficar claro e depois em decimal.
Regra: contar três dígitos significativos a partir do primeiro dígito não nulo e cortar (não arredondar). Fazer em notação científica para ficar claro e depois em decimal.
- Para
:
Escrever em notação científica:. Truncando para 3 dígitos significativos dá , que em decimal é
(Os três dígitos significativos são
.)
- Para
:
Escrever em notação científica:. Truncando para 3 dígitos significativos dá , que em decimal é
(Os três dígitos significativos são
.)