Problema 02. (Competição de Matemática Harvery Mudd do Caltech inverno de 2017 - adaptada) Se w e z são números complexos tal que |w|=5,|z|=13 e(52 w-20 z)=3(4+7 i) com i=\sqrt{-1}. Sabendo que o valor de (z \times w)=a-b i, onde a e b são números inteiros primos entre si, então o valor de (a+b) vale:
a) 47
b) 56
c) 67
d) 79
e) 89

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • |w| = 5.
  • |z| = 13.
  • 52w - 20z = 3(4+7i), com i=\sqrt{-1}.
    A pergunta é: sabendo que z\times w = a - b i, onde a e b são inteiros primos entre si, qual é o valor de a+b?

Passo 2

Uma ideia prática aqui é separar a magnitude (módulo) da direção (argumento) dos complexos. Como |w|=5 e |z|=13, escrevemos
w = 5u,\qquad z = 13v,
onde u e v são complexos com |u|=|v|=1 (ou seja, pontos na circunferência unitária). Substituindo na equação dada:
52w - 20z = 52(5u) - 20(13v) = 260(u-v).
Como isso deve ser igual a 3(4+7i)=12+21i, obtemos
260(u-v) = 12+21i.
Dividindo por 260,
u - v = \frac{12+21i}{260}.
Para simplificar a notação, defina
\delta := u-v = \frac{12+21i}{260}.

Passo 3

É útil trabalhar com a média e a metade da diferença:
m := \frac{u+v}{2},\qquad d := \frac{u-v}{2} = \frac{\delta}{2}.
Então
u = m+d,\qquad v = m-d.
Como |u|=|v|=1, desenvolvendo |u|^2 e |v|^2 obtemos duas igualdades que levam a
\Re\big(m\overline{d}\big)=0 \qquad\text{e}\qquad |m|^2 + |d|^2 = 1.
A primeira diz que m é “ortogonal” (no sentido da parte real do produto) a d; a segunda relaciona as magnitudes.

Passo 4

Queremos zw. Usando w=5u e z=13v,
zw = (13v)(5u) = 65\,(u v).
Logo basta achar u v. Com u=m+d e v=m-d temos
u v = (m+d)(m-d) = m^2 - d^2.
Agora mostro uma identidade muito útil que elimina a dependência de m: a partir de \Re(m\overline{d})=0 e |m|^2+|d|^2=1 segue (fazendo uma pequena manipulação algébrica) que
u v = -\,\frac{d^2}{|d|^2}.
Uma maneira curta de ver isso: como m\overline{d} é puramente imaginário, existe real r tal que m\overline{d}=i r. Então escrevendo m em função de d e usando r^2=|m|^2|d|^2 e |m|^2+|d|^2=1 chega-se a m^2 = -\dfrac{|m|^2}{|d|^2}\,d^2. Substituindo em m^2-d^2 e usando |m|^2+|d|^2=1 resulta exatamente em -d^2/|d|^2. O ponto importante: uv depende só de d, e não do m ambíguo.

Passo 5

Agora calculamos d explicitamente. Lembrando \delta=(12+21i)/260,
d=\frac{\delta}{2}=\frac{12+21i}{520}.
Calculamos d^2 e |d|^2:
d^2 = \frac{(12+21i)^2}{520^2} = \frac{144 + 504i -441}{520^2} = \frac{-297 + 504i}{520^2},
|d|^2 = \frac{12^2+21^2}{520^2} = \frac{585}{520^2}.
Assim,
u v = -\frac{d^2}{|d|^2} = -\frac{\dfrac{-297+504i}{520^2}}{\dfrac{585}{520^2}} = -\frac{-297+504i}{585} = \frac{297-504i}{585}.
Simplificando por 9:
u v = \frac{33 - 56 i}{65}.
Finalmente
z w = 65\,(u v) = 65\cdot\frac{33 - 56 i}{65} = 33 - 56 i.
Portanto a=33 e b=56. Verificação rápida: \gcd(33,56)=1 e \sqrt{33^2+56^2}=\sqrt{4225}=65, consistente com |zw|=|z||w|=13\cdot5=65.

Resposta

89

Exercícios relacionados