Problema 02. (Competição de Matemática Harvery Mudd do Caltech inverno de 2017 - adaptada) Se w e
são números complexos tal que
com
. Sabendo que o valor de
, onde a e b são números inteiros primos entre si, então o valor de
vale:
a) 47
b) 56
c) 67
d) 79
e) 89
a) 47
b) 56
c) 67
d) 79
e) 89
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
. -
. -
, com .
A pergunta é: sabendo que, onde e são inteiros primos entre si, qual é o valor de ?
Passo 2
Uma ideia prática aqui é separar a magnitude (módulo) da direção (argumento) dos complexos. Como
e
, escrevemos
onde
e
são complexos com
(ou seja, pontos na circunferência unitária). Substituindo na equação dada:
Como isso deve ser igual a
, obtemos
Dividindo por
,
Para simplificar a notação, defina
Passo 3
É útil trabalhar com a média e a metade da diferença:
Então
Como
, desenvolvendo
e
obtemos duas igualdades que levam a
A primeira diz que
é “ortogonal” (no sentido da parte real do produto) a
; a segunda relaciona as magnitudes.
Passo 4
Queremos
. Usando
e
,
Logo basta achar
. Com
e
temos
Agora mostro uma identidade muito útil que elimina a dependência de
: a partir de
e
segue (fazendo uma pequena manipulação algébrica) que
Uma maneira curta de ver isso: como
é puramente imaginário, existe real
tal que
. Então escrevendo
em função de
e usando
e
chega-se a
. Substituindo em
e usando
resulta exatamente em
. O ponto importante:
depende só de
, e não do
ambíguo.
Passo 5
Agora calculamos
explicitamente. Lembrando
,
Calculamos
e
:
Assim,
Simplificando por
:
Finalmente
Portanto
e
. Verificação rápida:
e
, consistente com
.