Calcule a solução dos sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c}x+3 y=11 \\\\ 1,5 x+4,501 y=16,501\end{array}\right.
Compare e interprete os resultados obtidos.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+3y=11,\\[4pt] 1,5x+4,501y=16,501. \end{cases}
O que é pedido:
  • Calcular a solução (x,y) do sistema.
  • Comparar e interpretar o resultado obtido (verificar, discutir dependência quase linear / sensibilidade a erros, etc.).
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes e termos independentes estão com casas decimais: 1,5,\;4,501,\;16,501.
  • Não há outra condição extra; presume-se que o sistema tem solução única ou múltipla dependendo da relação entre as equações.]

Passo 2

Método: eliminação (explicação didática).
  • A ideia da eliminação é combinar as equações para eliminar uma incógnita e assim resolver a outra. Aqui é simples eliminar x se multiplicarmos a primeira equação por 1,5 e subtrairmos da segunda.
  • Calculemos 1,5 vezes a primeira equação:
1,5\cdot(x+3y)=1,5x+1,5\cdot3y=1,5x+4,5y, \qquad 1,5\cdot11=16,5.
Então 1,5 vezes a primeira equação é
1,5x+4,5y=16,5.

Passo 3

Subtrair a equação obtida da segunda equação do sistema original para eliminar x.
  • Segunda equação original: 1,5x+4,501y=16,501.
  • Subtraindo a versão multiplicada da primeira:
(1,5x+4,501y)-(1,5x+4,5y)=16,501-16,5.
  • No lado esquerdo 1,5x cancela com -1,5x; sobra
4,501y-4,5y=0,001y.
  • No lado direito:
16,501-16,5=0,001.
Portanto obtemos a equação simples
0,001y=0,001.

Passo 4

Resolver para y.
  • Dividindo ambos os lados por 0,001:
y=\frac{0,001}{0,001}=1.
Explicando o passo: dividir por um número significa encontrar quantas vezes esse número cabe no numerador; aqui são iguais, logo y=1.

Passo 5

Determinar x substituindo y em qualquer das equações (uso da primeira por ser mais simples).
  • Primeira equação: x+3y=11.
  • Substituindo y=1:
x+3\cdot 1=11 \quad\Rightarrow\quad x+3=11.
  • Portanto
x=11-3=8.

Passo 6

Verificação (sempre importante na prova): substituir (x,y)=(8,1) na segunda equação.
  • Calcular o lado esquerdo: 1,5\cdot 8 + 4,501\cdot 1 = 12 + 4,501 = 16,501.
  • Isso coincide com o termo independente da segunda equação, então a solução está correta.

Passo 7

Interpretação e comparação dos resultados (didática e observações importantes):
  1. Relação aproximada entre as equações:
    • Note que 1,5 vezes a primeira equação é 1,5x+4,5y=16,5.
    • A segunda equação é 1,5x+4,501y=16,501.
    • Ou seja, a segunda é muito próxima de 1,5 vezes a primeira; há apenas uma pequena diferença de 0,001 tanto no coeficiente de y quanto no termo independente.
  2. Determinante e sensibilidade:
    • Para um sistema \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e\\\ f\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc. Aqui \det = 1\cdot 4,501 - 3\cdot 1,5 = 4,501 - 4,5 = 0,001.
    • Determinante pequeno (próximo de zero) indica que as equações são quase linearmente dependentes; o sistema é quase singular. Nesses casos a solução existe mas é numericamente sensível: pequenos erros nos coeficientes ou no termo independente podem produzir grandes mudanças relativas na solução.
  3. O que ocorreria se a pequena diferença fosse exatamente zero?
    • Se tivéssemos exatamente 4,501=4,5 e 16,501=16,5 (ou seja, se a segunda fosse exatamente 1,5 vezes a primeira), então 1,5x+4,5y=16,5seria a mesma equação que a primeira multiplicada, e o sistema teria infinitas soluções (as duas equações seriam dependentes). Portanto a pequena diferença de 0,001 é suficiente para tornar o sistema determinado e produzir a solução única (8,1).
  4. Conclusão prática:
    • A solução exata e verificada é (x,y)=(8,1).
    • Porém, atenção em cálculos numéricos: quando os coeficientes tornam o determinante muito pequeno, erros de arredondamento ou medições podem levar a resultados errôneos ou instáveis.

Resposta

x=8
y=1

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