Mostre as sentenças abertas, por indução matemática.
(e) p(n):(1+1) \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot \cdots \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1, \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado fornece a sentença aberta p(n) definida por:
p(n):\;(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1,\quad \forall n\in\mathbb{N}.
O que nos pedem: provar, por indução matemática, que p(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do lado esquerdo é um produto finito cujos fatores são \left(1+\dfrac{1}{k}\right) para k=1,2,\dots,n.
  • O lado direito é simplesmente n+1.
  • O universo da prova é os números naturais \mathbb{N}. Iremos tomar como caso base n=1 (forma usual).

Passo 2

Breve explicação do princípio de indução (como usar na prova).
O Princípio da Indução Matemática diz, em palavras simples:
  • Se p(1) é verdadeira (caso base),
  • e se, para todo n\ge 1, a verdade de p(n) implica a verdade de p(n+1) (passo indutivo),
  • então p(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.
Aqui p(n) é a propriedade que acabamos de escrever. Na prática fazemos dois passos: verificar p(1) e depois provar que p(n)\Rightarrow p(n+1). Vou executar isso detalhadamente.

Passo 3

Verificação do caso base n=1.
Escrevemos a expressão para n=1:
(1+1)=2.
O lado direito para n=1 é
1+1=2.
Como ambos os lados valem 2, temos p(1) verdadeira.
Comentário didático: sempre confira o primeiro caso explicitamente; é dele que tudo parte.

Passo 4

Enunciação da hipótese de indução.
Suponha que, para algum n\in\mathbb{N}, a propriedade p(n) seja verdadeira. Isso é a hipótese de indução. Em palavras:
\text{Hipótese:}\quad (1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1.ó
Essa igualdade é assumida como verdadeira para avançarmos e provar p(n+1).

Passo 5

Provar p(n+1) usando a hipótese.
Escrevemos o produto até n+1 e separamos o último fator:
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right).
Pela hipótese de indução, a multiplicação dos primeiros n fatores é n+1. Substituindo:
(n+1)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right).
Agora vamos simplificar o fator \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right). Escrevendo como fração:
1+\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}.
Portanto o produto fica
(n+1)\cdot\frac{n+2}{n+1}.

Passo 6

Simplificação final e justificativa do cancelamento.
Na expressão (n+1)\cdot\dfrac{n+2}{n+1} podemos simplificar o fator comum (n+1) no numerador e denominador. Justificativa: para n\in\mathbb{N} tem-se n+1\neq 0, então divisão por n+1 é válida. Após cancelar obtemos:
n+2.
Isso mostra que
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=n+2.
Ou seja, p(n+1) é verdadeira sempre que p(n) o for.

Passo 7

Conclusão por indução.
Tendo verificado o caso base p(1) e provado que p(n)\Rightarrow p(n+1), pelo Princípio da Indução Matemática concluímos que p(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 8

Intuição alternativa (útil na hora da prova): fatoração telescópica dos termos.
Observe que cada fator pode ser escrito como
1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}.
Então o produto é
\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n+1}{n}.
Nesse produto ocorre um “cancelamento em cascata” (telescópico): o 2 do denominador do segundo fator cancela com o 2 do numerador do primeiro, o 3 do denominador do terceiro cancela com o 3 do numerador do segundo, e assim por diante. No fim sobra apenas
\frac{n+1}{1}=n+1.
Essa é uma forma direta e rápida de ver o resultado; a indução formaliza e confirma essa intuição.

Resposta

(1+1)\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=n+1,\\ \forall n\in\mathbb{N}

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