Mostre as sentenças abertas, por indução matemática.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado fornece a sentença aberta
definida por:
O que nos pedem: provar, por indução matemática, que
é verdadeira para todo
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão do lado esquerdo é um produto finito cujos fatores são
para . - O lado direito é simplesmente
. - O universo da prova é os números naturais
. Iremos tomar como caso base (forma usual).
Passo 2
Breve explicação do princípio de indução (como usar na prova).
O Princípio da Indução Matemática diz, em palavras simples:
O Princípio da Indução Matemática diz, em palavras simples:
- Se
é verdadeira (caso base), - e se, para todo
, a verdade de implica a verdade de (passo indutivo), - então
é verdadeira para todo .
Aqui
é a propriedade que acabamos de escrever. Na prática fazemos dois passos: verificar
e depois provar que
. Vou executar isso detalhadamente.
Passo 3
Verificação do caso base
.
Escrevemos a expressão para :
Escrevemos a expressão para
O lado direito para
é
Como ambos os lados valem
, temos
verdadeira.
Comentário didático: sempre confira o primeiro caso explicitamente; é dele que tudo parte.
Passo 4
Enunciação da hipótese de indução.
Suponha que, para algum , a propriedade
seja verdadeira. Isso é a hipótese de indução. Em palavras:
Suponha que, para algum
Essa igualdade é assumida como verdadeira para avançarmos e provar
.
Passo 5
Provar
usando a hipótese.
Escrevemos o produto até e separamos o último fator:
Escrevemos o produto até
Pela hipótese de indução, a multiplicação dos primeiros
fatores é
. Substituindo:
Agora vamos simplificar o fator
. Escrevendo como fração:
Portanto o produto fica
Passo 6
Simplificação final e justificativa do cancelamento.
Na expressão podemos simplificar o fator comum
no numerador e denominador. Justificativa: para
tem-se
, então divisão por
é válida. Após cancelar obtemos:
Na expressão
Isso mostra que
Ou seja,
é verdadeira sempre que
o for.
Passo 7
Conclusão por indução.
Tendo verificado o caso base e provado que
, pelo Princípio da Indução Matemática concluímos que
é verdadeira para todo
.
Tendo verificado o caso base
Passo 8
Intuição alternativa (útil na hora da prova): fatoração telescópica dos termos.
Observe que cada fator pode ser escrito como
Observe que cada fator pode ser escrito como
Então o produto é
Nesse produto ocorre um “cancelamento em cascata” (telescópico): o
do denominador do segundo fator cancela com o
do numerador do primeiro, o
do denominador do terceiro cancela com o
do numerador do segundo, e assim por diante. No fim sobra apenas
Essa é uma forma direta e rápida de ver o resultado; a indução formaliza e confirma essa intuição.