Calcular a solução dos sistemas a seguir utilizando a decomposição de Cholesky.
\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & -3 & 0 & 3 \\\ 2 & 5 & -1 & 1 & 4 \\\ -3 & -1 & 50 & 1 & -19 \\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 \\\ 3 & 4 & -19 & 0 & 39\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}x_{1} \x_{2} \x_{3} \x_{4} \x_{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}17 \\\ 41 \\\ -45 \\\ 30 \\\ 51\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 & 3\\[4pt] 2 & 5 & -1 & 1 & 4\\[4pt] -3 & -1 & 50 & 1 & -19\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 6 & 0\\[4pt] 3 & 4 & -19 & 0 & 39 \end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}17\\[2pt]41\\[2pt]-45\\[2pt]30\\[2pt]51\end{pmatrix}.
O que se pede é encontrar o vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T usando a decomposição de Cholesky da matriz A.]

Passo 2

Breve aula sobre Cholesky (passo a passo e sem pular etapas).
  • Cholesky procura uma matriz triangular inferior L tal que
A = L L^T,
onde L é da forma
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0 & 0 & 0\\[2pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0 & 0 & 0\\[2pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} & 0 & 0\\[2pt] \ell_{41} & \ell_{42} & \ell_{43} & \ell_{44} & 0\\[2pt] \ell_{51} & \ell_{52} & \ell_{53} & \ell_{54} & \ell_{55} \end{pmatrix}.
  • As fórmulas para calcular os elementos de L são (para matrizes simétricas positivas):
\ell_{ii} = \sqrt{\,a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1}\ell_{ik}^2\,},
\ell_{ji} = \frac{1}{\ell_{ii}}\Big(a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1}\ell_{jk}\ell_{ik}\Big),\qquad j>i.
Aqui a_{ij} são os elementos de A. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para obter L. Depois, para resolver Ax=b uso a fatoração A=LL^T e faço duas etapas:
  1. resolver Ly=b por substituição direta (forward substitution);
  2. resolver L^T x = y por substituição regressiva (back substitution).]

Passo 3

Calculo dos elementos da primeira coluna de L.
  • \ell_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1.
  • \ell_{21} = \dfrac{a_{21}}{\ell_{11}} = \dfrac{2}{1} = 2.
  • \ell_{31} = \dfrac{a_{31}}{\ell_{11}} = \dfrac{-3}{1} = -3.
  • \ell_{41} = \dfrac{a_{41}}{\ell_{11}} = \dfrac{0}{1} = 0.
  • \ell_{51} = \dfrac{a_{51}}{\ell_{11}} = \dfrac{3}{1} = 3.

Passo 4

Calculo dos elementos da segunda coluna de L.
  • \ell_{22} = \sqrt{a_{22} - \ell_{21}^2} = \sqrt{5 - 2^2} = \sqrt{1} = 1.
  • \ell_{32} = \dfrac{a_{32} - \ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}} = \dfrac{-1 - (-3)\cdot 2}{1} = \dfrac{-1 +6}{1} = 5.
  • \ell_{42} = \dfrac{a_{42} - \ell_{41}\ell_{21}}{\ell_{22}} = \dfrac{1 - 0\cdot 2}{1} = 1.
  • \ell_{52} = \dfrac{a_{52} - \ell_{51}\ell_{21}}{\ell_{22}} = \dfrac{4 - 3\cdot 2}{1} = 4-6 = -2.

Passo 5

Calculo dos elementos da terceira coluna de L.
  • \ell_{33} = \sqrt{a_{33} - \ell_{31}^2 - \ell_{32}^2} = \sqrt{50 - (-3)^2 - 5^2} = \sqrt{50 -9 -25} = \sqrt{16} = 4.
  • \ell_{43} = \dfrac{a_{43} - \ell_{41}\ell_{31} - \ell_{42}\ell_{32}}{\ell_{33}} = \dfrac{1 - 0\cdot(-3) - 1\cdot 5}{4} = \dfrac{1-5}{4} = -\dfrac{4}{4} = -1.
  • \ell_{53} = \dfrac{a_{53} - \ell_{51}\ell_{31} - \ell_{52}\ell_{32}}{\ell_{33}} = \dfrac{-19 - 3\cdot(-3) - (-2)\cdot 5}{4} = \dfrac{-19 +9 +10}{4} = \dfrac{0}{4} = 0.

Passo 6

Calculo dos elementos da quarta coluna de L.
  • \ell_{44} = \sqrt{a_{44} - \ell_{41}^2 - \ell_{42}^2 - \ell_{43}^2} = \sqrt{6 - 0^2 - 1^2 - (-1)^2} = \sqrt{6 -0 -1 -1} = \sqrt{4} = 2.
  • \ell_{54} = \dfrac{a_{54} - \ell_{51}\ell_{41} - \ell_{52}\ell_{42} - \ell_{53}\ell_{43}}{\ell_{44}} = \dfrac{0 - 3\cdot 0 - (-2)\cdot 1 - 0\cdot(-1)}{2} = \dfrac{0 +2}{2} = 1.

Passo 7

Calculo do último elemento \ell_{55}.
  • \ell_{55} = \sqrt{a_{55} - \ell_{51}^2 - \ell_{52}^2 - \ell_{53}^2 - \ell_{54}^2} = \sqrt{39 - 3^2 - (-2)^2 - 0^2 - 1^2} = \sqrt{39 -9 -4 -0 -1} = \sqrt{25} = 5.
Assim, a matriz L encontrada é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[2pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[2pt] -3 & 5 & 4 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\[2pt] 3 & -2 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix},
e realmente A = L L^T (pode-se verificar multiplicando, mas vou seguir para a resolução do sistema).]

Passo 8

Resolver L y = b por substituição direta (forward substitution). As equações são:
\begin{aligned} \ell_{11} y_1 &= b_1,\\[2pt] \ell_{21} y_1 + \ell_{22} y_2 &= b_2,\\[2pt] \ell_{31} y_1 + \ell_{32} y_2 + \ell_{33} y_3 &= b_3,\\[2pt] \ell_{41} y_1 + \ell_{42} y_2 + \ell_{43} y_3 + \ell_{44} y_4 &= b_4,\\[2pt] \ell_{51} y_1 + \ell_{52} y_2 + \ell_{53} y_3 + \ell_{54} y_4 + \ell_{55} y_5 &= b_5. \end{aligned}
Calculemos passo a passo:
  • y_1 = \dfrac{b_1}{\ell_{11}} = \dfrac{17}{1} = 17.
  • 2y_1 + 1\cdot y_2 = 41 \implies y_2 = 41 - 2\cdot 17 = 41 -34 = 7.
  • -3y_1 + 5y_2 + 4y_3 = -45 \implies 4y_3 = -45 +3\cdot 17 -5\cdot 7. Calculando: -45 +51 -35 = -29. Então y_3 = -\dfrac{29}{4}.
  • 0\cdot y_1 + 1\cdot y_2 -1\cdot y_3 + 2y_4 = 30 \implies 2y_4 = 30 - y_2 + y_3. Substituindo y_2=7 e y_3=-29/4:
2y_4 = 30 - 7 + \left(-\dfrac{29}{4}\right) = 23 - \dfrac{29}{4} = \dfrac{92 -29}{4} = \dfrac{63}{4},
logo y_4 = \dfrac{63}{8}.
  • 3y_1 -2y_2 + 0\cdot y_3 + 1\cdot y_4 + 5y_5 = 51. Substituindo y_1=17,y_2=7,y_4=63/8:
5y_5 = 51 - (3\cdot 17) + 2\cdot 7 - \dfrac{63}{8}.
Calcule: 3\cdot 17 =51, então 51 -51 +14 -63/8 = 14 - 63/8 = \dfrac{112 -63}{8} = \dfrac{49}{8}. Assim y_5 = \dfrac{49}{40}.
Portanto
y = \begin{pmatrix}17\\[2pt]7\\[2pt]-\dfrac{29}{4}\\[2pt]\dfrac{63}{8}\\[2pt]\dfrac{49}{40}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver L^T x = y por substituição regressiva (back substitution). A matriz L^T é triangular superior; as equações são
\begin{aligned} \ell_{55} x_5 &= y_5,\\[2pt] \ell_{44} x_4 + \ell_{54} x_5 &= y_4,\\[2pt] \ell_{33} x_3 + \ell_{43} x_4 + \ell_{53} x_5 &= y_3,\\[2pt] \ell_{22} x_2 + \ell_{32} x_3 + \ell_{42} x_4 + \ell_{52} x_5 &= y_2,\\[2pt] \ell_{11} x_1 + \ell_{21} x_2 + \ell_{31} x_3 + \ell_{41} x_4 + \ell_{51} x_5 &= y_1. \end{aligned}
Vamos calcular de baixo para cima:
  • x_5 = \dfrac{y_5}{\ell_{55}} = \dfrac{49/40}{5} = \dfrac{49}{200}.
  • 2x_4 + 1\cdot x_5 = y_4 = \dfrac{63}{8} \implies 2x_4 = \dfrac{63}{8} - \dfrac{49}{200}. Colocando em denominador comum 400: \dfrac{3150}{400} - \dfrac{98}{400} = \dfrac{3052}{400}. Então x_4 = \dfrac{3052}{800} = \dfrac{763}{200}.
  • 4x_3 + (-1)x_4 + 0\cdot x_5 = y_3 = -\dfrac{29}{4} \implies 4x_3 = -\dfrac{29}{4} + x_4. Em denominador 800: -\dfrac{29}{4} = -\dfrac{1450}{200} = -\dfrac{1450\cdot4}{800} = -\dfrac{5800}{800}, x_4=\dfrac{763}{200}=\dfrac{3052}{800}. Soma: -\dfrac{5800}{800} + \dfrac{3052}{800} = -\dfrac{2748}{800} = -\dfrac{687}{200}. Assim 4x_3 = -\dfrac{687}{200} e x_3 = -\dfrac{687}{800}.
  • x_2 + 5x_3 + 1x_4 -2x_5 = y_2 = 7 \implies x_2 = 7 -5x_3 - x_4 + 2x_5. Substituindo frações (usar denominador 800 dá):
7 = \dfrac{5600}{800},\quad -5x_3 = -5\cdot\Big(-\dfrac{687}{800}\Big)=\dfrac{3435}{800},\quad -x_4 = -\dfrac{3052}{800},\quad 2x_5 = \dfrac{392}{800}.
Somando: \dfrac{5600+3435-3052+392}{800} = \dfrac{6375}{800} = \dfrac{255}{32}. Logo x_2 = \dfrac{255}{32}.
  • Finalmente x_1 + 2x_2 -3x_3 + 0\cdot x_4 + 3x_5 = y_1 = 17. Assim
x_1 = 17 - 2x_2 + 3x_3 - 3x_5.
Substituindo frações com denominador 800:
17 = \dfrac{13600}{800},\quad 2x_2 = \dfrac{12750}{800},\quad 3x_3 = 3\cdot\Big(-\dfrac{687}{800}\Big)= -\dfrac{2061}{800},\quad 3x_5 = \dfrac{588}{800}.
Então
x_1 = \dfrac{13600 -12750 -2061 -588}{800} = \dfrac{-1799}{800}.
Portanto a solução obtida é
x = \begin{pmatrix} -\dfrac{1799}{800}\\[4pt] \dfrac{255}{32}\\[4pt] -\dfrac{687}{800}\\[4pt] \dfrac{763}{200}\\[4pt] \dfrac{49}{200} \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x_1=-\dfrac{1799}{800}
\displaystyle x_2=\dfrac{255}{32}
\displaystyle x_3=-\dfrac{687}{800}
\displaystyle x_4=\dfrac{763}{200}
\displaystyle x_5=\dfrac{49}{200}

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