Calcular a solução dos sistemas a seguir utilizando a decomposição de Cholesky.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
com
O que se pede é encontrar o vetor
usando a decomposição de Cholesky da matriz
.]
Passo 2
Breve aula sobre Cholesky (passo a passo e sem pular etapas).
- Cholesky procura uma matriz triangular inferior
tal que
onde
é da forma
- As fórmulas para calcular os elementos de
são (para matrizes simétricas positivas):
Aqui
são os elementos de
. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para obter
. Depois, para resolver
uso a fatoração
e faço duas etapas:
- resolver
por substituição direta (forward substitution); - resolver
por substituição regressiva (back substitution).]
Passo 3
Calculo dos elementos da primeira coluna de
.
Passo 4
Calculo dos elementos da segunda coluna de
.
Passo 5
Calculo dos elementos da terceira coluna de
.
Passo 6
Calculo dos elementos da quarta coluna de
.
Passo 7
Calculo do último elemento
.
Assim, a matriz
encontrada é
e realmente
(pode-se verificar multiplicando, mas vou seguir para a resolução do sistema).]
Passo 8
Resolver
por substituição direta (forward substitution). As equações são:
Calculemos passo a passo:
-
-
-
Calculando: . Então -
Substituindo e :
logo
-
Substituindo :
Calcule:
, então
Assim
Portanto
Passo 9
Resolver
por substituição regressiva (back substitution). A matriz
é triangular superior; as equações são
Vamos calcular de baixo para cima:
-
-
Colocando em denominador comum : Então -
Em denominador : , . Soma: Assim e -
Substituindo frações (usar denominador dá):
Somando:
Logo
- Finalmente
. Assim
Substituindo frações com denominador
:
Então
Portanto a solução obtida é