Calcular as somas
1^3+2^3+cdots+(2 n-1)^3.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular S = 1³ + 2³ + ⋯ + (2n − 1)³, que é um caso de soma de potências (sequência de cubos). Vamos usar a fórmula padrão de soma de cubos.

Passo 2

Para todo inteiro m ≥ 1, vale a identidade:
sumk=1^m k^3 = l(m(m+1)2r)^2
Essa fórmula vem do fato de que a soma dos cubos é o quadrado da soma dos inteiros.

Passo 3

No nosso problema, podemos identificar m = 2n − 1. Substituindo na fórmula, obtemos:
S = sumk=1^2n-1 k^3 = l((2n-1)((2n-1)+1)2r)^2 = l((2n-1)cdot 2n2r)^2

Passo 4

Basta simplificar o fator dentro do quadrado: tfrac(2n-1)cdot 2n2 = n(2n-1). Logo
S = l(n(2n-1)r)^2 = n^2(2n-1)^2

Resposta

n^2(2n-1)^2

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